Równanie różniczkowe- problem z przekształceniem

[krzysiekku]

\(\displaystyle{ x \frac{dy}{dx} = y^{3} + y}\) co po przekształceniu wygląda tak: \(\displaystyle{ \frac{dy}{ y^{3}+y }}\)= \(\displaystyle{ \frac{dx}{x} }}\).

Czyli po lewej i po prawej mamy całki. Jak rozwiązać całkę z lewej strony? Żadnego wzoru na to nie ma a nawet jak z mianownika wyłączę y, czyli: \(\displaystyle{ \frac{dy}{d( y^{2}+1 }}\) i skorzystam z metody: \(\displaystyle{ \frac{A}{y}+ \frac{B}{( y^{2}+1) } dy}\) to i tak y mi nie wyjdzie jako stała tylko jako kolejne równanie.

Podobny problem z takim równaniem: \(\displaystyle{ xy(1+ x^{2}) \frac{dy}{dx}}\) = \(\displaystyle{ 1+ y^{2}}\) co po przekształceniu daje \(\displaystyle{ \frac{y dy}{(1+ y^{2})}}\) = \(\displaystyle{ \frac{dx}{(1+ x^{2})x }}\)

Da się to rozwiązać jakąś metoda(którą najpewniej nie znam)?

[roger_biezanow]

Powinieneś mieć \(\displaystyle{ \frac{By+C}{y ^{2}+1 }}\)
I powinno wyjść;)

[krzysiekku]

Ale czego to się tyczy? To "C" sugeruje, że wyrażenie jest już po całkowaniu. Możesz to rozpisać? bo nie widzę tego. Jak robiłem tą metoda na innych przykładach to A i B to zawsze były jakieś liczby.

[pingu]

Oba równania są o zmiennych rozdzielonych, więc wystarczy igrek na jedną , iks na druga stronę poprzenosić. Teraz wystarczy obustronnie scałkować i wszystko.

Pozdrawiam
pingu

[krzysiekku]

No ale tak właśnie zrobiłem. I nie umiem obliczyć całki z tego wyrażenia: \(\displaystyle{ \frac{dy}{ y^{3}+y }}\) co napisałem powyżej

[miki999]

i skorzystam z metody: \(\displaystyle{ \frac{A}{y}+ \frac{B}{( y^{2}+1) } dy}\)

No i z czym w tym momencie masz problem? Wykorzystaj uwagę: roger_biezanow, która sugeruje rozkład na:
\(\displaystyle{ \frac{A}{y}+ \frac{By+C}{( y^{2}+1) } dy}\) zamiast tego Twojego.
Chyba, że nie wyjdzie, to:
\(\displaystyle{ ...=\frac{y \ dy}{y^2( y^{2}+1) }}\)
co przy podstawieniu \(\displaystyle{ y^2}\) jest trywialne.

co po przekształceniu daje \(\displaystyle{ \frac{y dy}{(1+ y^{2})} = \frac{dx}{(1+ x^{2})x }}\)

Lewa strona to najpewniej podstawienie mianownika, a prawa to samo co tutaj.


Pozdrawiam.

[krzysiekku]

\(\displaystyle{ \frac{A}{y}+ \frac{By+C}{( y^{2}+1) } dy}\)

Nie rozumiem skąd się bierze C.

\(\displaystyle{ \frac{A}{y}+ \frac{B}(y^{2})+1) } dy}\) sprowadzam do wspólnego mianownika, czyli licznik tego wyrażenie wygląda tak: \(\displaystyle{ A(y^{2}+1) + By}}\) i musi się on równać 1 bo w wyjściowym równaniu tak było. Więc nie wiem skąd się to C wzięło :]

[miki999]

Więc nie wiem skąd się to C wzięło :]

No to najwyżej się ono wyzeruje.

Jeżeli mamy w mianowniku nierozkładalny wielomian to w liczniku wsadzamy wielomian stopnia o 1 niższego. Zresztą szkoda pisać- wszystko jest na Wiki.