koło opisane i wpisane w trójkąt

[piopa]

Mam do zrobienia takie zadanie. W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej. Wyznacz stosunek pola koła opisanego na tym trójkącie do pola koła wpisanego w ten trójkąt. Wynik przedstaw w jak najprostszej postaci. Macie jakiś pomysł

[piasek101]

Kąty trójkąta to 30; 60; 90.
\(\displaystyle{ c = 2R}\) oraz \(\displaystyle{ 2r=a+b-c}\) (klasyczne oznaczenia)

[fabjano]

jest to trójkąt o kątach 30 60 90 czyli (link z twierdzeniem

Kod: Zaznacz cały

http://www.math.us.edu.pl/prace/2001/bp/strona3.html

)

2a-przeciwprostokątna
a-krótsza przyprostokątna
a\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) -dłuższa przyprostokątna \(\displaystyle{ a^{m}}\)

mamy boki i wiemy że 2a to średnica dużego okręgu czyli:
2a=2R
a=R

teraz korzystamy z twierdzenia, że suma przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym równa się sumie średnic okręgów wpisanego i opisanego (link https://www.matematyka.pl/73231.htm), że
a+b=2(r+R)
a+a\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)=2(r+a)
a+a\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)=2r+2a
2r=a+a\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)-2a
r=-a+a\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)

obliczamy pola okręgów
P=\(\displaystyle{ \pi}\)r \(\displaystyle{ ^{2}}\)
P2=\(\displaystyle{ \pi}\)(-a+a\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\))\(\displaystyle{ ^{2}}\)
P2=\(\displaystyle{ \pi}\) 4a \(\displaystyle{ ^{2}}\)-2a\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)
P1=\(\displaystyle{ \pi}\) a \(\displaystyle{ ^{2}}\)

obliczamy stosunek
\(\displaystyle{ \frac{P2}{P1}}\)
sory ale ułamki nie chciał mi się załadować jakiś błąd

[piopa]

Dzięki fabjano. Mógłbyś jeszcze spróbować podać wynik ? (może słownie?)