Ciągi geometryczne-piłka

[panna_blond]

1. Piłkę opuszczono z wysokości 2m. Po każdym odbiciu od podłogi piłka wznosi się na wysokość równą 0.7 wysokości, z której opadała. Oblicz:
a)wysokość, na którą wzniesie się piłka po piątym odbiciu od podłogi
b)drogę, jaką pokona piłka od momentu opuszczenia jej do momentu szóstego odbicia od podłogi.

[?ukasz Jestem]

Witaj.
Ilorazem ciągu geometrycznego będzie \(\displaystyle{ q=0.7}\)
Podstawiając do wzoru ogólnego:
\(\displaystyle{ a_{n}=a_{1} \cdot q^{n-1} \\ a_{n}=2 \cdot (0.7)^{n-1}}\)

Możesz obliczyć teraz A):
\(\displaystyle{ a_{5}=2 \cdot (0.7)^{4}}\)

W B) natomiast musisz użyć wzoru na sumę w ciągu geometrycznym:
\(\displaystyle{ S_{n}=a_{1} \cdot \frac{1-q^{n}}{1-q} \\ S_{6}=2 \cdot \frac{1-(0.7)^{6}}{1-0.7}}\)

Czy taka jest odpowiedź w książce ?

Pozdrawiam, Łukasz .

[panna_blond]

Niestety ale w książce są zupełnie inne wyniki
a) ok. 34 cm
b)ok. 9.76m

[Justka]

a) po piątym odbiciu od podłogi, czyli 6 raz ponad ziemią ;], więc
\(\displaystyle{ a_6=2\cdot (0,7)^5}\)

b) piłka musi się wznieść i opaść, dlatego tutaj liczymy "podwójnie", czyli
\(\displaystyle{ droga=a_1+2(a_2)+2(a_3)+...+2(a_6)= 2S_6-a_1}\)

[?ukasz Jestem]

Tak, racja, mój błąd. Nie wziąłem pod uwagę faktu, że "Piłkę opuszczono z wysokości 2m. Po każdym odbiciu od podłogi piłka wznosi się na wysokość równą 0.7 wysokości"

Także wzór będzie wyglądał tak:
\(\displaystyle{ a_{n}=2 \cdot (0.7)^{n-1} \\ a_{6}=2 \cdot 0,16807 \\ a_{6}=0,33614 m \approx 34 cm}\)

[matma17]

a)
n-liczba odbi od podogi
q=0,7
1 odbicie = 2*0.7=1.4
\(\displaystyle{ a_{n}}\)= 1.4* \(\displaystyle{ 0.7^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ a_{5}}\)=1.4*0.2401 =0.33614m\(\displaystyle{ \approx}\) 33cm

b)
droga, jaką pokona piłka od momentu opuszczenia jej do momentu szóstego odbicia od podłogi = 2*\(\displaystyle{ s_{6}}\) -\(\displaystyle{ a_{1}}\)
=
4*\(\displaystyle{ \frac{0.882351}{0.3}}\) -2 = 11.7646-2=\(\displaystyle{ \approx}\) 9.76 m

[panna_blond]

to niech teraz ktoś mi to wytłumaczy bo nie rozumiem podpunktu B..
wychodzi że za \(\displaystyle{ a_{1}}\) przyjeliśmy 2..Jeżeli tak to dlaczego w A przyjeliśmy \(\displaystyle{ a_{1}}\)=1,4 ??