Niech \(\displaystyle{ f}\) bedzie mierzalna funkcja na zbiorze\(\displaystyle{ E}\) . Pokaz, ze jesli \(\displaystyle{ f}\) jest calkowalna na zbiorze \(\displaystyle{ E}\), to wtedy dla kazdego \(\displaystyle{ \epsilon >0}\) istnieje\(\displaystyle{ \delta >0}\) dla ktorej, jesli \(\displaystyle{ A \subset E}\) jest mierzalny i \(\displaystyle{ m(A)<\delta}\) , to \(\displaystyle{ \int_A |f|<\epsilon}\) .
Pokaz, ze twierdzenie odwrotne do powyzszego nie jest prawdziwe.
Pokaz, ze twierdzenie odwrotne do powyzszego jest prawdziwe jesli \(\displaystyle{ m(E)<\infty}\)
Z gory dziekuje za pomoc!
Pytanie o miare Lebesque
-
clarksontom41
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 12 mar 2010, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bytom
- Podziękował: 1 raz
-
fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Pytanie o miare Lebesque
Czy zakładamy coś jeszcze o zbiorze \(\displaystyle{ A}\), jeśli nie to możemy przyjąć \(\displaystyle{ A=\emptyset}\)?
Czy \(\displaystyle{ m}\) to miara Lebesgue'a na prostej?
Czy \(\displaystyle{ m}\) to miara Lebesgue'a na prostej?
-
pipol
Pytanie o miare Lebesque
Zakładam, że \(\displaystyle{ m}\) jest miarą Lebesgue'a.
Niech \(\displaystyle{ f \ge 0}\) . Obierzmy \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\) . Isnieje nieujemna mierzalna funkcja prosta \(\displaystyle{ g \le f}\) taka, że \(\displaystyle{ \int_{E} (f-g)dm \le \frac{\varepsilon}{2}}\) . Dla dowolnego zbioru mierzalnego \(\displaystyle{ A \subset E}\) :
\(\displaystyle{ \int_{A} fdm= \int_{A} (f-g)dm + \int_{A} gdm \le \int_{E} (f-g)dm + \int_{A} gdm <\frac{\varepsilon}{2} + \int_{A} gdm}\)
Funkcja \(\displaystyle{ g}\) jako prosta jest ograniczona powiedzmy przez liczbę \(\displaystyle{ M>0}\). Weźmy \(\displaystyle{ \delta =\frac{\varepsilon}{2M}}\) i niech \(\displaystyle{ m(A)<\delta}\) wtedy dostaniemy
\(\displaystyle{ \int_{A} fdm <\frac{\varepsilon}{2} + \int_{A} gdm <\frac{\varepsilon}{2} +m(A)\cdot M<\varepsilon}\)
Jeśli teraz \(\displaystyle{ f}\) jest dowolna, to \(\displaystyle{ |f|=f_{+} +f_{-}}\) , \(\displaystyle{ f_{+} ,f_{-} \ge 0}\) i teza wynika z powyższego rozumowania.
Twierdzenie odwrotnie nie jest prawdziwe, wystarczy wziąźć \(\displaystyle{ E=\mathbb{R} , f=\mbox{const} \neq 0}\)
Jeśli natomiast \(\displaystyle{ m(E)<\infty}\). To weźmy \(\displaystyle{ \varepsilon =1}\) i niech \(\displaystyle{ E= \bigcup_{n=1}^{k} E_n}\), \(\displaystyle{ E_i \cap E_j =\emptyset}\) , \(\displaystyle{ m(E_i )<\delta =\delta (1)}\).
Wówczas \(\displaystyle{ \int_{E} |f|dm= \sum_{n=1}^{k} \int_{E_n} |f|dm < \sum_{n=1}^{k} 1 =k<\infty}\)
Zatem \(\displaystyle{ f}\) jest całkowalna.
Niech \(\displaystyle{ f \ge 0}\) . Obierzmy \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\) . Isnieje nieujemna mierzalna funkcja prosta \(\displaystyle{ g \le f}\) taka, że \(\displaystyle{ \int_{E} (f-g)dm \le \frac{\varepsilon}{2}}\) . Dla dowolnego zbioru mierzalnego \(\displaystyle{ A \subset E}\) :
\(\displaystyle{ \int_{A} fdm= \int_{A} (f-g)dm + \int_{A} gdm \le \int_{E} (f-g)dm + \int_{A} gdm <\frac{\varepsilon}{2} + \int_{A} gdm}\)
Funkcja \(\displaystyle{ g}\) jako prosta jest ograniczona powiedzmy przez liczbę \(\displaystyle{ M>0}\). Weźmy \(\displaystyle{ \delta =\frac{\varepsilon}{2M}}\) i niech \(\displaystyle{ m(A)<\delta}\) wtedy dostaniemy
\(\displaystyle{ \int_{A} fdm <\frac{\varepsilon}{2} + \int_{A} gdm <\frac{\varepsilon}{2} +m(A)\cdot M<\varepsilon}\)
Jeśli teraz \(\displaystyle{ f}\) jest dowolna, to \(\displaystyle{ |f|=f_{+} +f_{-}}\) , \(\displaystyle{ f_{+} ,f_{-} \ge 0}\) i teza wynika z powyższego rozumowania.
Twierdzenie odwrotnie nie jest prawdziwe, wystarczy wziąźć \(\displaystyle{ E=\mathbb{R} , f=\mbox{const} \neq 0}\)
Jeśli natomiast \(\displaystyle{ m(E)<\infty}\). To weźmy \(\displaystyle{ \varepsilon =1}\) i niech \(\displaystyle{ E= \bigcup_{n=1}^{k} E_n}\), \(\displaystyle{ E_i \cap E_j =\emptyset}\) , \(\displaystyle{ m(E_i )<\delta =\delta (1)}\).
Wówczas \(\displaystyle{ \int_{E} |f|dm= \sum_{n=1}^{k} \int_{E_n} |f|dm < \sum_{n=1}^{k} 1 =k<\infty}\)
Zatem \(\displaystyle{ f}\) jest całkowalna.