miara Lebesque, zbieznosc punktowa

[clarksontom41]

1)
Niech E ma skonczona miare (Lebesque) i niech \(\displaystyle{ f_k}\) bedzie ciagiem
jednostajnie całkowalnych funkcji na E. Pokaz, ze jesli\(\displaystyle{ f_k \rightarrow f}\) zbieżny punktowo, to f jest całkowalna na E.

2)
Niech E ma skonczona miare (Lebesque) i niech \(\displaystyle{ f_k}\) bedzie ciagiem
jednostajnie całkowalnych funkcji na E. Pokaz, ze jesli\(\displaystyle{ f_k \rightarrow f}\) zbieżny prawie wszedzie (tzn za wyjatkiem zbioru o mierze 0), to f jest całkowalna na E i ponadto
\(\displaystyle{ \int_E f_k \rightarrow \int_E f}\)

[janas]

Co znaczy, że funkcja jest jednostajnie całkowalna na zbiorze? Być może jestem w stanie Ci pomóc.

[clarksontom41]

Rodzina funkcji F na zbiorze E ze skończoną miarą jest jednostajnie całkowalna na zbiorze E wtedy i tyko wtedy gdy \(\displaystyle{ \forall_{\epsilon > 0}\exists_{\delta>0}}\) taka, że \(\displaystyle{ \int_A |f|<\epsilon}\) dla każdej funkcji \(\displaystyle{ f\in F}\) i dla każdego \(\displaystyle{ A \subset E}\) z miarą \(\displaystyle{ m(A)<\delta}\)

Z gory dziekuje

[pipol]

1) Weźmy \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\) . Istnieje \(\displaystyle{ 0<\delta <\varepsilon}\) takie, że jeśli \(\displaystyle{ m(A) <\delta}\) to \(\displaystyle{ \forall_{n\in\mathbb{N}} \int_{A} |f_n |dm \le \varepsilon}\) .
Z twierdzenia Jegorowa wynika, że istnieje zbiór mierzalny \(\displaystyle{ F}\) taki, że \(\displaystyle{ m(E \backslash F )<\delta}\) oraz \(\displaystyle{ f_n \rightarrow f}\) (jednostajnie). Istnieje więc \(\displaystyle{ n_0 \in\mathbb{N}}\) o tej własności, że \(\displaystyle{ \forall_{t\in F} |f_n (t) -f(t) | \le \varepsilon}\) dla \(\displaystyle{ n \ge n_0}\). Stosując Lemat Fatou do ciągu \(\displaystyle{ |f_n |}\) oraz korzystając z nierówności \(\displaystyle{ \forall_{A: ma(A) <\delta}\forall_{n\in\mathbb{N}} \int_{A} |f_n |dm \le \varepsilon}\), dostajemy \(\displaystyle{ \forall_{A: m(A)<\delta} \int_{A} |f|dm \le \varepsilon}\)
Mamy teraz
\(\displaystyle{ \int_{E} |f|dm = \int_{E \backslash F} |f|dm + \int_{F} |f|dm \le \int_{E \backslash F} |f|dm + \int_{F} |f -f_{n_{0}}|dm +\int_{F} |f_{n_{0}}| dm \le \varepsilon +\varepsilon \cdot m(F) +\int_{F} |f_{n_{0}}| dm <\infty}\)
2) Jeżeli \(\displaystyle{ f_n}\) jest zbieżny prawie wszędzie na \(\displaystyle{ S}\), to \(\displaystyle{ f_n}\) jest zbieżny wszędzie na \(\displaystyle{ E}\), gdzie \(\displaystyle{ E=S \backslash B}\) i \(\displaystyle{ m(B)=0}\). Mamy zatem przy powyższych oznaczeniach
\(\displaystyle{ \left| \int_{S} f_n dm - \int_{S} f dm \right| = \left| \int_{E} f_n dm - \int_{E} f dm \right| \le \int_{E} |f_n -f|dm \le \int_{E \backslash F} |f|dm + \int_{E \backslash F} |f_n |dm + \int_{F} |f_n-f| \le 2\varepsilon +\varepsilon \cdot m(F)}\) dla \(\displaystyle{ n \ge n_0}\)

[clarksontom41]

Bardzo dziekuje za pomoc, ale mam jeszcze jedno pytanie.

Druga czesc zadania ma dla mnie sens, ale nie rozumiem dlaczego uzywaz Twierdzenie Jegorowa do zbieznosci punktowej (pierwsza czesc) ? O ile pamietam Jegorow zaklada zbieznosc prawie wszedzie....

Z gory dziekuje

[pipol]

Jeżeli ciąg jest zbieżny punktowo to jest zbieżny prawie wszędzie