Wielomian 3 stopnia, parametr, ciąg arytmetyczny

Papkin · Post autor: **Papkin** » 12 mar 2010, o 18:22

Dla jakich wartośći parametru p pierwiastki równania
\(\displaystyle{ x^{3} + px^{2} + (p+2)x + 3}\)
tworzą ciąg arytmetyczny.

Doszedłem do tego, że -1 jest pierwiastkiem niezależnym od p, oraz że -1 nie jest środkowym elementem ciągu (możemy przyjać więc, że jest pierwszym) i utknąłem.
Bardzo proszę o wskazówkę dotyczącą rozwiązania tego zadania.

Z góry dzięki za odpowiedź.

Post autor: **xanowron** » 12 mar 2010, o 19:24

Skoro \(\displaystyle{ -1}\) jest pierwiastkiem tego wielomianu to podziel go przez \(\displaystyle{ (x+1)}\) i zostanie Ci równanie kwadratowe które musi zawierać dwa pierwiastki. Możesz albo je obliczyć i korzystając z własności ciągu arytmetycznego policzyć \(\displaystyle{ p}\), albo skorzystać ze wzorów Viete'a (nie wiem czy się tutaj opłaca, bo nie robiłem tego zadania).
Na pewno możesz przyjąć, że \(\displaystyle{ -1}\) jest pierwszym wyrazem ciągu?

Papkin · Post autor: **Papkin** » 12 mar 2010, o 19:55

Podzielilem juz to wczesniej, ale nie otrzymalem nic ciekawego, a wzory viete'a nic ciekawego nie daje. Moge przyjac, ze -1 jest pierwszym elementem bo podstawiajac -1 jako srednia arytmetyczna dwoch sasiednich otrzymalbym xowa wspolrzedna wierzcholka podzielona na dwa, a tym samym wartosc parametru p. Podstawiajac ja do otrzymanego rownania kwadratowego otrzymalbym delte mniejsza od O - sprzecznosc z zalozeniem, ze istnieja 3 miejsca zerowe rzeczywiste.

Post autor: **xanowron** » 12 mar 2010, o 20:39

Zatem wylicz te pierwiastki i skorzystaj z warunku dla ciągu arytmetycznego.

Papkin · Post autor: **Papkin** » 13 mar 2010, o 12:58

Dobra, nie wiem co w tym miałem za problem. Wyzerowałem wielomian i wyszło bez problem jak zabrałem się za to na świeżo.