Mam problem z następującym zadaniem:
Udowodnij, że przy założeniach
\(\displaystyle{ (a _{n} )}\) - ciąg arytmetyczny
\(\displaystyle{ _{n \in N} ^{ \wedge } a _{n} \in N}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a _{1} } \in N}\)
prawdziwa jest teza
\(\displaystyle{ ^{ \vee } _{m \in N \backslash \{1\}} \sqrt{a _{m}} \in N}\)
Problem z dowodem.
-
Mortify
- Użytkownik
- Posty: 768
- Rejestracja: 22 lis 2007, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 164 razy
Problem z dowodem.
Sądzę, iż będzie ok:
Dane: \(\displaystyle{ r \in N, a_1}\) , bo dany jest ciąg.
\(\displaystyle{ a_m = a_1 + (m-1)*r}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a_m} = \sqrt{a_1 + (m-1)*r}}\)
Mamy zatem:
\(\displaystyle{ \sqrt{a_1 + (m-1)*r}= \sqrt{a_1}* \sqrt{1+ \frac{(m-1)r}{a_1} }}\). Pierwszy czynnik jest naturalny zgodnie z założeniem, więc wystarczy sprawdzić drugi czy należy do naturalnych.
Aby tak było to \(\displaystyle{ \frac{(m-1)r}{a_1}}\) musi być postaci:\(\displaystyle{ k^2-1}\), \(\displaystyle{ k \in N \backslash \{1 \}}\)
Sprawdzmy zatem, czy dla istnieje takie m naturalne, dla którego liczba ta jest takiej postaci:
\(\displaystyle{ \frac{(m-1)r}{a_1}= k^2-1}\)
\(\displaystyle{ m= \frac{a_1*(k^2-1)}{r}+1}\)
Możemy dobrać takie k do r, aby otrzymać m naturalne. Wystarczy wziąć: \(\displaystyle{ k=r+1}\). Mamy wtedy:\(\displaystyle{ k^2-1=(r+1)^2-1=r^2+2r+1-1=r(r+2)}\) - liczba podzielna przez \(\displaystyle{ r}\).
i wtedy mamy: \(\displaystyle{ m=a_1(r+2)-1 \in N \backslash \{1 \}}\)
Co kończy dowód istnienia takiego m.
Dane: \(\displaystyle{ r \in N, a_1}\) , bo dany jest ciąg.
\(\displaystyle{ a_m = a_1 + (m-1)*r}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a_m} = \sqrt{a_1 + (m-1)*r}}\)
Mamy zatem:
\(\displaystyle{ \sqrt{a_1 + (m-1)*r}= \sqrt{a_1}* \sqrt{1+ \frac{(m-1)r}{a_1} }}\). Pierwszy czynnik jest naturalny zgodnie z założeniem, więc wystarczy sprawdzić drugi czy należy do naturalnych.
Aby tak było to \(\displaystyle{ \frac{(m-1)r}{a_1}}\) musi być postaci:\(\displaystyle{ k^2-1}\), \(\displaystyle{ k \in N \backslash \{1 \}}\)
Sprawdzmy zatem, czy dla istnieje takie m naturalne, dla którego liczba ta jest takiej postaci:
\(\displaystyle{ \frac{(m-1)r}{a_1}= k^2-1}\)
\(\displaystyle{ m= \frac{a_1*(k^2-1)}{r}+1}\)
Możemy dobrać takie k do r, aby otrzymać m naturalne. Wystarczy wziąć: \(\displaystyle{ k=r+1}\). Mamy wtedy:\(\displaystyle{ k^2-1=(r+1)^2-1=r^2+2r+1-1=r(r+2)}\) - liczba podzielna przez \(\displaystyle{ r}\).
i wtedy mamy: \(\displaystyle{ m=a_1(r+2)-1 \in N \backslash \{1 \}}\)
Co kończy dowód istnienia takiego m.
Problem z dowodem.
Czesc!
Dzieki za pomoc, mam jednak jeszcze jedno pytanie.
W międzyczasie rozwiązałem to zadanie w następujący sposób:
Założenia:
\(\displaystyle{ (a _{n} )}\) - ciąg arytmetyczny
\(\displaystyle{ _{n \in N} ^{ \wedge } a _{n} \in N}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a _{1} } \in N}\)
Teza:
\(\displaystyle{ ^{ \vee } _{m \in N \backslash \{1\}} \sqrt{a _{m}} \in N}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ (_{n \in N} ^{ \wedge } a _{n} \in N) \Rightarrow (a _{1} \in N \wedge r \in N)}\)
\(\displaystyle{ (\sqrt{a _{1} } \in N) \Rightarrow (a_{1}=q^{2} \wedge q\in N)}\)
\(\displaystyle{ a_{2q+r+1}=a_{1}+(2q+r+1-1)r=q^{2}+2qr+r^{2}=(q+r)^{2}}\)
\(\displaystyle{ (a_{2q+r+1}=(q+r)^{2}) \Rightarrow (m=2q+r+1 \Rightarrow \sqrt{a_{m}} \in N)}\)
Cbdo.
Jak widać, wniosek, że m powinno równać się 2q+r+1 wziąłem z "alternatywnej hiperprzestrzeni", czyli wymyśliłem na boku. Czy taki dowód byłby uznany za poprawny?
Pozdrawiam.
Dzieki za pomoc, mam jednak jeszcze jedno pytanie.
W międzyczasie rozwiązałem to zadanie w następujący sposób:
Założenia:
\(\displaystyle{ (a _{n} )}\) - ciąg arytmetyczny
\(\displaystyle{ _{n \in N} ^{ \wedge } a _{n} \in N}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a _{1} } \in N}\)
Teza:
\(\displaystyle{ ^{ \vee } _{m \in N \backslash \{1\}} \sqrt{a _{m}} \in N}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ (_{n \in N} ^{ \wedge } a _{n} \in N) \Rightarrow (a _{1} \in N \wedge r \in N)}\)
\(\displaystyle{ (\sqrt{a _{1} } \in N) \Rightarrow (a_{1}=q^{2} \wedge q\in N)}\)
\(\displaystyle{ a_{2q+r+1}=a_{1}+(2q+r+1-1)r=q^{2}+2qr+r^{2}=(q+r)^{2}}\)
\(\displaystyle{ (a_{2q+r+1}=(q+r)^{2}) \Rightarrow (m=2q+r+1 \Rightarrow \sqrt{a_{m}} \in N)}\)
Cbdo.
Jak widać, wniosek, że m powinno równać się 2q+r+1 wziąłem z "alternatywnej hiperprzestrzeni", czyli wymyśliłem na boku. Czy taki dowód byłby uznany za poprawny?
Pozdrawiam.