uzasadnij, że równość jest prawdziwa

[marta16148]

\(\displaystyle{ \sqrt{7+4 \sqrt{3} }+ \sqrt{7-4 \sqrt{3} }=(18^-^4:3^-^8) \cdot (2 \sqrt{2})^4}\)

.. no i nie wiem jak zacząć..

[bartek118]

Zauważ, że
\(\displaystyle{ \sqrt{7+4 \sqrt{3} }+ \sqrt{7-4 \sqrt{3} } = \sqrt{4+4 \sqrt{3} +3 }+ \sqrt{4-4 \sqrt{3} + 3 } = \sqrt{(2+\sqrt{3})^{2} }+ \sqrt{(2-\sqrt{3})^{2} } = 2 + \sqrt{3} +2 - \sqrt{3} = 4}\)

[marta16148]

fakt.. a z prawą stroną jak ruszyć?

[bartek118]

Własności potęg ;p

[marta16148]

heloł:p
jak zamienić potęgę 18 i 3 na wspólną podstawę?;/

może to jakieś banalnie proste ale ja nie widzę tego.. zadanie za 3 pkty a ja mam takie problemy.. właśnie popadam w depresję:P

[bartek118]

\(\displaystyle{ 18 = 3^{2} \cdot 2}\)

[justynaje]

\(\displaystyle{ P= \frac{ ( 2 \cdot 3 ^{2} )^{-4}}{3 ^{-8} } \cdot 2^{4} \cdot 2^{2} = \frac{2 ^{-4} \cdot 3 ^{-8} }{3 ^{-8} } \cdot 2^{4} \cdot 2^{2} =2 ^{2} =4}\)

[noname94]

Napiszę tu żeby nie zakładać nowego tematu. Można to zrobić tak, że podnieść stronami do kwadratu?
czyli

\(\displaystyle{ L= \left[ \sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}} \right] ^{2}
\\ L= 7+4 \sqrt{3}+2 \sqrt{49-48} +7-4\sqrt{3}=16
\\ P= \left[ \frac{18 ^{-4}}{3 ^{-8} } \cdot \left( 2 \sqrt{2} \right) ^{4} \right] ^{2} = \left[ \frac{18 ^{-1} }{3 ^{-2} }^4 \cdot \left( 2 \sqrt{2} \right) ^{4} \right] ^{2}
\\ P= \frac{18^{-1}}{3^{-2}} ^{8} \cdot \left( 2\sqrt{2} \right) ^8 = \left( \frac{1}{2} \right) ^{8} \cdot \left( 2\sqrt{2} \right) ^{8}= \left( \sqrt{2} \right) ^{8}=16
\\ L=P}\)

Proszę o odpowiedź czy to jest poprawnie zrobione, bo mam jakieś zamroczenie i zaczyna mi się już mieszać?

[bartek118]

Jak na razie udowodniłeś, że obie strony są równe co do modułów - podniesienie do kwadratu zapomina o znaku. Jak dodasz to tego, że obydwie strony wyjściowego równania są dodatnie, to będzie ok.