Granica zwiazana z calka

[Aram]

Jak liczylibyscie taka granice DeHospitalem ?:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}{\frac{\int_{0}^{x}cos(t^{2})dt}{x}}}\)

[Mbach]

ja Hospitalem, zresztą pochodna po górnej granicy jest równa wartości f. podcałkowej w punkcie będącym górną granicą więc \(\displaystyle{ \frac{d}{dx}(\int^{x}_0 cos(t^2)dt) = cos(x^2)}\).

[ Dodano: Sob Maj 06, 2006 10:27 am ]
lol, chociaż Hospitalem wychdzi że nie ma granicy, a granica ponoć zero wynosi ;(

[ Dodano: Sob Maj 06, 2006 10:31 am ]
albo do licznika zastosuj 1. tw. o wartości średniej, zostanie jakieś mi należące do i trzeba udowodnić że dązy do zera, bo x się poskracają

[Aram]

Po pierwsze dlaczego zachodzi taka rownosc twoim zdaniem? :

\(\displaystyle{ \frac{d}{dx}(\int^{x}_0 cos(t^2)dt) = cos(x^2)}\).

Po drugie dlaczego Hospitalem twoim zdaniem wychodzi ze nie ma granicy ? bo mi sie wydaje z twierdzenia De Hostpitala nigdy nie da sie wywnioskowac ze granica nie istnieje patrz

[Mbach]

no cóż taka równość zachodzi, tutaj nie popełniłem grzechu, jest takowe twierdzenie, ktore sparafrazowałem. a co do linka to dzięki[/scroll]

[g]

a moze sprobowac policzyc \(\displaystyle{ \int_0^\infty \cos x^2 dx}\)? to sie da zrobic.

[Aram]

Mbach: wcale nie chcialem kwestionowac tego, chodzilo mi o to zebys pokazal mi moze gdzies w necie owe twierdzenie.

g: da sie ? pokaz jak...

[Mbach]

Fichtenholz, tom 2, ustęp 305. strona 99:

jeśli funkcja f(t) jest ciągła w punkcie t = x, to w punkcie tym funkcja\(\displaystyle{ \Phi (x)}\), ma pochodną równą f(x), czyli \(\displaystyle{ \Phi `(x) = f(x)}\)

\(\displaystyle{ \Phi (x) = \int_{a}^{x}f(t)dt}\)

[g]

oznaczmy przez \(\displaystyle{ K}\) polprosta od \(\displaystyle{ 0}\) "do \(\displaystyle{ +\infty}\)".
\(\displaystyle{ \int_0^\infty \cos x^2 dx = \int_0^\infty \Re[\exp (-ix^2)] dx = \Re \left[ t_K \exp (-iz^2) dz \right]}\)
\(\displaystyle{ \int_K \exp (-iz^2) dz = \int_K \exp \left( - \left( {1 + i \over \sqrt{2}} \right)^2 z^2 \right) dz = {\sqrt{\pi} \over 2 \frac{1+i}{\sqrt{2}}} = {1 \over 2} \sqrt{{\pi \over 2}} (1 - i)}\)
\(\displaystyle{ \Re \left[{1 \over 2} \sqrt{{\pi \over 2}} (1 - i) \right] = {1 \over 2} \sqrt{{\pi \over 2}}}\).
czyli calka jest skonczona jak najbardziej.

[Aram]

wszystko byloby prawie dobrze gdybym wiedzial z czego wynika 4 rownosc... wiem ze jest to zwiazane z tzw. calka gaussa czy tam laplace czy kogos innego... ale nie wiem jak to sie ma do liczb zespolonych

[g]

rzeczywiscie, male naduzycie z mojej strony. ale wynik dobry. zapewne wymaga to tylko jakichs formalnych poprawek, pomysle jeszcze.