zaznacz zbiór punktów

[yoana91]

na płaszczyźnie OAB zaznacz zbiór punktów, dla których zachodzi następujący warunek:

\(\displaystyle{ \log _{2}(a+b)=\log _{2}a+\log _{2} b}\)


rozpisałam to wyrażenie:

\(\displaystyle{ \log_{2}(a+b)=\log _{2}(ab)}\)

\(\displaystyle{ (a+b)=ab}\)

i nie wiem co dalej.

PS. czy płaszczyzna OAB to zwykły układ XOY z inaczej nazwanymi osiami?

[zati61]

PS. czy płaszczyzna OAB to zwykły układ XOY z inaczej nazwanymi osiami?

Tak.

\(\displaystyle{ \log_{a}(a+b)=\log _{2}(ab)}\)

masz różne podstawy, więc nie bardzo można przyrównać argumenty.

Jak już to:
\(\displaystyle{ a+b=ab \wedge a=2}\)
ale to nie wyczerpuje wszystkich rozwiązań
_____________________

\(\displaystyle{ \log_{a}(a+b)=\log _{2}(ab)}\) ta postać jest najważniejsza.
1. podstawy równe, juz zrobilismy
2. podstawy takie, by były 2 różne logarytmy(jeden o podstawie pomiedzy 0;1 a drugi >1).
Warunki: \(\displaystyle{ 0<a<1}\); wtedy korzystajac z tego, ze logarytmu takie maja tylko jeden punkt wspolny dla argumentu \(\displaystyle{ x=1}\), wiec: \(\displaystyle{ a+b=ab=1}\)- dostajemy niestety sprzeczność; więc przypadek odpada.

A więc widać, że to (1) to jedyna możliwość.

[yoana91]

masz różne podstawy, więc nie bardzo można przyrównać argumenty.

przepraszam! błąd w zapisie, już poprawiłam, podstawy są takie same. jak zatem rozwiązać to zadanie?

[fon_nojman]

oab to zwykły układ oxy tylko inne nazwy współrzędnych (osi wspólrzędnych).

\(\displaystyle{ a+b=ab \Leftrightarrow a=b(a-1) \Leftrightarrow (widac\ ze\ dla\ a=1\ rownosc\ nie\ zachodzi)\ b=\frac{a}{a-1}}\)

[yoana91]

czyli mam narysować funkcję homograficzną: \(\displaystyle{ b=\frac{a}{a-1}}\) ?:)

[fon_nojman]

dokładnie tak