Pole powierzchni

[daro[lo]]

Uzasadnić, że pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji \(\displaystyle{ \frac{1}{x\sqrt{x}}}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 1}\) wokół osi Ox ma skończoną wartość.

[BettyBoo]

Chyba najprościej je po prostu obliczyć - podstaw dane do wzoru i dostaniesz łatwą całkę do obliczenia.

Pozdrawiam.

[daro[lo]]

Podstawiając do wzoru otrzymuje : \(\displaystyle{ 2 \pi \int_{1}^{ \infty }x^{\frac{-3}{2}} \sqrt{1+\frac{9x^{-5}}{4}}}\)
Jak dla mnie to nie jest przyjemna do obliczenia całka

[BettyBoo]

Sorry, jakoś pominęłam fakt, że chodzi o pole, a nie objętość

Ponieważ \(\displaystyle{ x\ge 1}\) to \(\displaystyle{ x^{-5}\le 1}\) a więc

\(\displaystyle{ 2 \pi \int_{1}^{ \infty }x^{\frac{-3}{2}} \sqrt{1+\frac{9x^{-5}}{4}}dx\le 2\pi \int_{1}^{ \infty }x^{\frac{-3}{2}}\sqrt{1+\frac{9}{4}}dx}\)

a ta całka jest zbieżna.

Pozdrawiam.

[daro[lo]]

Super:D dzięki, nie wpadłem na to żeby to tak fajnie oszacować.