Równanie różniczkowe niejednorodne

[lopcio]

Witam. Proszę o pomoc w rozwiązaniu równania różniczkowego. Kawałek zrobiłem, ale zaciąłem się w jednym miejscu, a do tego nie jestem pewien, czy dobrze to obliczyłem.

\(\displaystyle{ y''-7y'+6y=sinx}\)


Wynik równania jednorodnego:
\(\displaystyle{ y_{0}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{6x}}\)


Uzmiennianie stałych:
\(\displaystyle{ y=C_{1}(x)e^{x}+C_{2}(x)e^{6x}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} C^{l}_{1}(x)e^{x}+C^{l}_{2}(x)e^{6x}=0 \\ C^{l}_{1}(x)e^{x}+6C^{l}_{2}(x)e^{6x} =sinx \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 5C'_{2}(x)e^{6x}=sinx}\)
\(\displaystyle{ C'_{2}(x)= \frac{sinx}{5e^{6x}}}\)

[meninio]

Dobrze.
Ostatnie równanie musisz scałkować.
Wskazówka: \(\displaystyle{ \frac{1}{e^x}=e^{-x}}\), a powstała całka to całka pętląca się.

[lopcio]

Dziękuję za odpowiedź.


Hmm, po scałkowaniu wychodzi mi niezbyt ładne wyrażenie:
\(\displaystyle{ C_{2}(x)= \frac{e^{-6x}cosx+6e^{-6x}sinx}{175}}\)

Znowu coś zamotałem?


A jak wyliczę już to \(\displaystyle{ C_{2}(x)}\), to \(\displaystyle{ C_{1}(x)}\) wylicza się w tym przypadku tak?

\(\displaystyle{ C'_{1}(x)e^{x}+C'_{2}(x)e^{6x}=0}\)
\(\displaystyle{ C'_{1}(x)e^{x}=-C'_{2}(x)e^{6x}}\)
\(\displaystyle{ C'_{1}(x)= \frac{-C'_{2}(x)e^{6x}}{e^{x}}}\)
\(\displaystyle{ C_{1}(x)= \int\frac{-C'_{2}(x)e^{6x}}{e^{x}}dx}\)

[meninio]

Dokładnie. Jeszcze możesz skrócić licznik z mianownikiem.
A odnośnie wyniku to nie sprawdzę bo mi się nie chce:P