Całka nieoznaczona

[maciek987]

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{(1- x^{2}) }dx}\) Wiem, że można skorzystać z gotowego wzoru, ale bardziej interesuje mnie jego wyprowadzenie. Z góry dziękuję za pomoc.

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \sqrt{(1- x^{2}) }= \frac{(1- x^{2})}{\sqrt{(1- x^{2}) }}}\)

[M Ciesielski]

Albo przez podstawienie \(\displaystyle{ x = \sin t}\). Spróbuj przynajmniej.

[swpok]

Albo przez podstawienie \(\displaystyle{ t = \sin x}\). Spróbuj przynajmniej.

To nie powinno być przypadkiem podstawienie \(\displaystyle{ x = \sin t}\) ?

[M Ciesielski]

Oczywiście, że tak, literówka.

[Mariusz M]

Można też przez części

\(\displaystyle{ \int{ \sqrt{1-x^2} \mbox{d}x }=x\sqrt{1-x^2}+\int{ \frac{x^2}{ \sqrt{1-x^2} } \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ \int{ \sqrt{1-x^2} \mbox{d}x }=x\sqrt{1-x^2}+\int{ \frac{x^2-1}{ \sqrt{1-x^2} } \mbox{d}x }+\int{ \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} } \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ 2\int{ \sqrt{1-x^2} \mbox{d}x }=x \sqrt{1-x^2}+\arcsin{x}}\)

\(\displaystyle{ \int{ \sqrt{1-x^2} \mbox{d}x }= \frac{1}{2} \left( x \sqrt{1-x^2}+\arcsin{x}\right)+C}\)