Zbadaj zbieżność szeregu

[Dudas]

Witam

Mam do zbadania zbieżność następującego szeregu :
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} sin(\frac {1}{n} + n\pi)}\)

Z warunku koniecznego :

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} sin(\frac {1}{n} +n\pi) = 0}\)

Wynika to z tego że dla \(\displaystyle{ n \in N}\) \(\displaystyle{ sin(n\pi) = 0}\)

Teraz warunek wystarczający mnie pokonał. Mam do dyspozycji kryteria porównawcze, całkowe, D'Alamberta i ilorazowe

Wiedząc że \(\displaystyle{ n \in N}\), doprowadziłem szereg do następującej postaci :
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} sin(\frac {1}{n} + n\pi) = \sum_{n=1}^{\infty} sin(\frac {1}{2n}) -\sum_{n=1}^{\infty} sin(\frac {1}{2n-1})}\)

Teraz wystarczy pokazać że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} sin(\frac {1}{n})}\) jest zbieżny, to wtedy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} sin(\frac {1}{2n})}\) jest zbieżny i szereg początkowy też jest zbieżny, tylko jak to zrobić? Za wszelkie wskazówki z góry dzięki

[Zordon]

Nie wiem w jaki sposób udało Ci się dojść do takiej dziwnej postaci, ale szereg\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} sin(\frac {1}{n})}\) jest rozbieżny, więc nie tędy droga. Rozpisz to ze wzoru na sinus sumy kątów.

[Dudas]

właśnie to zrobiłem

\(\displaystyle{ sin(\frac {1}{n} + n\pi) = sin(\frac {1}{n})cos(n\pi) + sin(n\pi)cos(\frac{1}{n})}\)

A że dla \(\displaystyle{ n \in N}\) \(\displaystyle{ sin(n\pi) = 0}\) dostajemy :

\(\displaystyle{ sin(\frac {1}{n} + n\pi) = sin(\frac {1}{n})cos(n\pi)}\)

I teraz dla parzystych \(\displaystyle{ n}\), \(\displaystyle{ cos(n \pi) = 1}\), a dla nieparzystych jest równy \(\displaystyle{ -1}\), więc dostajemy :
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} sin(\frac {1}{n} + n \pi) = \sum_{n=1}^{\infty} sin(\frac {1}{2n}) - \sum_{n=1}^{\infty} sin(\frac {1}{2n-1})}\)

[Zordon]

Wcale nie, ostatnie przejście jest złe.
Poza tym nie zawsze można napisać, że: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }(a_n-b_n)= \sum_{n=1}^{ \infty }a_n- \sum_{n=1}^{ \infty }b_n}\)
Tu akurat nie można.

[Dudas]

To jak inaczej to zrobić? Ta różnicę wykombinowałem przez rozpisanie pierwszych paru wyrazów więc rzeczywiście może to być niewłaściwe.

[Zordon]

wychodzi \(\displaystyle{ \sum_{}^{} (-1)^nsin( \frac{1}{n})}\), co dalej? Znasz jakieś kryterium dla szeregów o wyrazach naprzemiennego znaku?