Kilka równań różniczkowych

[lopcio]

Witam. Mam problem z kilkoma równaniami różniczkowymi. Z góry dziękuję bardzo za pomoc.

1.
\(\displaystyle{ y'=10 ^{x+y}}\)

\(\displaystyle{ (...)}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{10^y} = \int 10^{x} dx}\)
\(\displaystyle{ \int 10^{x} dx= \frac{10^{x}}{ln10}+C}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{10^y} = \int 10^{-y}= \frac{10^{-y}}{ln10} +C \ (?)}\)


2.
\(\displaystyle{ y'= \sqrt{4x+2y-1}}\)

\(\displaystyle{ (...)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int \frac{du}{ \sqrt{u} +2}= \int dx}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{u} +2-2ln \left|\sqrt{u} +2 \right| =x+C}\)

Jak z takiego równania wyznaczyć u?


3.
\(\displaystyle{ xy'-y=xtg \frac{y}{x}}\)

\(\displaystyle{ (...)}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{du}{tgu} = \int \frac{dx}{x}}\)
\(\displaystyle{ (...)}\)
\(\displaystyle{ ln(tgu)- \frac{1}{2} ln((tgu) ^{2} +1)=lnx \ (?)}\)

[swpok]

Co do drugiego równania to myślę, że odpowiedź można wyrazić w tzw. postaci niejawnej, tzn. nie musisz koniecznie wyrażać odpowiedzi przez y(x) = ... . Jednak koniecznym wydaje się powrót do poprzedniej zmiennej. Jeżeli chodzi o przykład trzeci to trochę namotałeś, bo poprawna odpowiedź powinna wynosić \(\displaystyle{ y = x * arcsin(xC)}\). Co do pierwszego, to także zostawiłbym odpowiedź w postaci niejawnej. Poza tym, stała całkowania nie powinna się redukować, a z Twojego zapisu wynika, że po zapisaniu równania wyrugujemy stałą całkowania. À propos, te zadania to z warszawskiej Lądówki?

[lopcio]

Dziękuję za odpowiedź.

Co do tej postaci niejawnej - czy mógłbyś pokazać na jednym z tych zadań, jak to ma dokładnie wyglądać? Bo na ćwiczeniach jako przykład postaci niejawnej było takie coś:
\(\displaystyle{ u ^{2} +1= \frac{C}{ \left|x \right| }}\)
Ale nie wiem jak ugryźć przykłady z tego tematu.

Poza tym, stała całkowania nie powinna się redukować, a z Twojego zapisu wynika, że po zapisaniu równania wyrugujemy stałą całkowania. À propos, te zadania to z warszawskiej Lądówki?

Z tą stałą całkowania to trochę tu zamotałem. Generalnie robię tak:
1. Doprowadzam równanie do pożądanej postaci, obustronnie całkuję.
2. Na boku obliczam sobie całkę lewej i prawej strony równania, wyniki obu to "cośtam + C" (z przyzwyczajenia).
3. Zapisuję scałkowane równanie w postaci:

\(\displaystyle{ <wycalkowana \ lewa \ strona> \ = \ <wycalkowana \ prawa \ strona> + C}\)

Czyli po scałkowaniu piszę stałą tylko po prawej stronie.

Czy taka procedura jest prawidłowa?

À propos, te zadania to z warszawskiej Lądówki?

Tak, dokładnie.

[swpok]

Co do tej postaci niejawnej - czy mógłbyś pokazać na jednym z tych zadań, jak to ma dokładnie wyglądać?

Otóż, na początek może trochę teorii. Funkcję można przedstawiać w postaci jawnej tzn. wzorem, który w sposób jednoznaczny określa zależność wartości funkcji od jej argumentu lub w postaci uwikłanej( ). W przypadku, gdy autor zadania nie prosi o postać jawną, myślę, że odpowiedź w postaci uwikłanej( nazwa istniejąca w literaturze na to co nazwałem postacią niejawną ) jest jak najbardziej poprawna.

Jednak najlepiej będzie to pokazać na przykładzie. Weźmy pod uwagę na przykład zadanie drugie.
Otóż:
\(\displaystyle{ y' = \sqrt{4x + 2y - 1}}\)
\(\displaystyle{ u(x) = 4x + 2y - 1}\)
\(\displaystyle{ y = \frac{u + 1 - 4x}{2}}\)
\(\displaystyle{ y' = \frac{1}{2}(u' - 4)}\)

Zatem, po podstawieniu i kolejnych przekształceniach algebraicznych dochodzimy do następującej formy:
\(\displaystyle{ \frac{dx}{du} = 2\sqrt{u} + 4}\)
\(\displaystyle{ \int dx = \frac{1}{2}\int \frac{du}{\sqrt{u} + 2}}\)

Tutaj radziłbym całkować przez podstawienie( \(\displaystyle{ u = t^{2}}\), \(\displaystyle{ du = 2t dt}\) ). Po powrocie do starej zmiennej( u ) uzyskujemy:
\(\displaystyle{ x = \sqrt{u} - 2ln|\sqrt{u} + 2| + C}\)

Jednak w zadaniu pytali o funkcję f(x), zatem tak ona wygląda w postaci uwikłanej:
\(\displaystyle{ x = \sqrt{4x + 2y - 1} - 2ln|\sqrt{4x + 2y - 1} + 2| + C}\) - co stanowi ostateczną odpowiedź.

Czy taka procedura jest prawidłowa?

Tak. Jeżeli wymagają od Ciebie bardziej formalnego zapisu, to gdy liczysz na przykład lewą stronę równania( co jest wygodniejsze, gdy funkcja pod całką jest trochę skomplikowana), to możesz posiłkować się np. stałą \(\displaystyle{ C_{1}}\) dla lewej strony równania, a prawą stronę stałą \(\displaystyle{ C_{2}}\). W końcowym zapisie po prostu umieszczasz uwagę, że \(\displaystyle{ C = C_{1} + C_{2}}\).
Tak jak w pierwszym przykładzie:
\(\displaystyle{ L = \int 10^{x} dx= \frac{10^{x}}{ln10}+C_{1}}\)
\(\displaystyle{ P = \int \frac{dy}{10^y} = \int 10^{-y}= - \frac{10^{-y}}{ln10} + C_{2}}\)

Czyli postać uwikłana rozwiązania wygląda następująco:
\(\displaystyle{ 10^{x} + 10^{-y} = + C}\)
Gdzie, \(\displaystyle{ C = C_{1} + C_{2}}\).
\(\displaystyle{ \frac{C}{ln 10} = C}\) Stała przez stałą dalej będzie stałą, więc myślę, że można tak zapisać.

[lopcio]

Dziękuję bardzo za odpowiedź. Mam jeszcze dwa pytania:

1. Dlaczego \(\displaystyle{ P = \int \frac{dy}{10^y} = \int 10^{-y}= - \frac{10^{-y}}{ln10} + C_{2}}\)? Nie powinno być \(\displaystyle{ \frac{10^{-y}}{ln10} + C_{2}}\) (bez minusa)?

2. Co do 3. przykładu - kombinuję i za nic nie chce mi wyjść \(\displaystyle{ y = x * arcsin(xC)}\). Zawieszam się w takim miejscu:
\(\displaystyle{ \int \frac{du}{tgu} = \int \frac{dx}{x}}\)
\(\displaystyle{ L=\int \frac{du}{tgu}= \ (podstawienie \ tgu=t) \ =\int \frac{dt}{t(t^{2}+1)}=\int \frac{dt}{t} - \frac{1}{2} \int \frac{2t}{t^{2}+1} =ln \left|t \right|- \frac{1}{2} ln \left|t^{2}+1 \right| =ln \left|tgu \right| - \frac{1}{2} ln \left|tg^{2}u+1 \right|}\)

Dobrze liczę tę całkę? Jeżeli tak, to jak dalej rozwiązać ten przykład?

[swpok]

1. Powinien być minus. Jeżeli masz wątpliwości dotyczące wyniku to zawsze możesz go zróżniczkować.
2. Trochę tutaj zamotałeś.
\(\displaystyle{ L=\int \frac{du}{tgu} = \int \frac{cos u}{sin u}du = \int \frac{(sin u)'}{sin u}du = ln|sin u| + C_{1}}\).

Ogólne twierdzenie :
\(\displaystyle{ \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = ln|f(x)| + C}\) - możesz to w łatwy sposób udowodnić. Wystarczy zróżniczkować wynik.

[lopcio]

1. Rzeczywiście z minusem jest dobrze, z tym że ja sugerowałem się wzorem \(\displaystyle{ \int a^{x}= \frac{a^{x}}{lna} +C}\). Jest w takim przypadku jakieś "regułowe uzasadnienie" na tego minusa?

[swpok]

Zwróć uwagę na to, że funkcja \(\displaystyle{ a^{-x}}\) jest funkcją złożoną, dlatego jej pochodna wynosi:
\(\displaystyle{ (a^{-x})' = (-x)' \cdot a^{-x} \cdot lna = - a^{-x} \cdot lna}\).

Natomiast funkcja podcałkowa jest postaci \(\displaystyle{ a^{-x}}\).

Suma sumarum minus należy uwzględnić.

[lopcio]

OK, no to już wszystko jasne w tym temacie. Jeszcze raz bardzo dziękuję za pomoc.