wyznacz liczby ciagu geometrycznego i arytmetycznego

[katrin_17]

Trzy liczby ktorych suma rowna sie 28 tworza ciag geometryczny liczby te sa rowniez pierwszym drugim i czwartym wyrazem ciagu arytmetycznego wyznacz te liczby.

[Brzytwa]

Niech tymi liczbami będą \(\displaystyle{ a,aq,aq^{2}}\). Korzystając z tego, że są 1,2 i 4 wyrazem ciągu arytmetycznego mamy:

\(\displaystyle{ aq^{2}-aq=2(aq-a)}\)
\(\displaystyle{ aq(q-1)=2a(q-1)}\)

Oczywiście dla \(\displaystyle{ a=0}\) dostajemy sprzeczność. Zatem:

\(\displaystyle{ q=1 \ \ q=2}\)

1)\(\displaystyle{ q=1}\)

\(\displaystyle{ 3a=28}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{28}{3}}\)

2)\(\displaystyle{ q=2}\)

\(\displaystyle{ a+2a+4a=28}\)
\(\displaystyle{ a=4}\)

Tak więc szukany ciąg geometryczny ma postać \(\displaystyle{ \frac{28}{3},\frac{28}{3},\frac{28}{3}}\) lub \(\displaystyle{ 4,8,16}\).

[buu]

ale dlaczego podwajamy roznice : aq-a ?????

[Brzytwa]

\(\displaystyle{ aq^{2}-aq=a_{4}-a_{2}=2r}\)

\(\displaystyle{ aq-a=a_{2}-a_{1}=r}\)

[buu]

a czy mozna z tego zrobic układ równań?

\(\displaystyle{ \begin{cases} a + (a + r) + (a + 3r)=28 \\
a(a + 3r)= (a + r )^2 \end{cases}}\)

?

[Brzytwa]

a czy mozna z tego zrobic układ równań?

\(\displaystyle{ \begin{cases} a + (a + r) + (a + 3r)=28 \\a(a + 3r)= (a + r )^2 \end{cases}}\)


?

Można.

[buu]

dziękuję