Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji

[amator]

Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji przy warunku \(\displaystyle{ g(x,y)=0}\):

a) \(\displaystyle{ f(x,y)= x+y, g(x,y) = e^{x+y} -xy -1}\)
b) \(\displaystyle{ f(x,y)=xy, g(x,y) = x^{2} + y^{2} -8}\)

Proszę powiedzcie mi jak takie zadania należy rozwiązać ( i jednocześnie rozwiązywać ). Będę wdzięczna

[Pikaczu]

https://matematyka.pl/viewtopic.php?p=43 ... ght=#43285

[Robert313]

Chciałem odkopać temat bo nie potrafię rozwiązać 1 przykładu.
Stosuję metodę mnożników lagrangea i zacinam się na wyznaczeniu punktów krytycznych.
Otrzymuję 3 pochodne:
po \(\displaystyle{ x: 1+ ae^{x+y}-ay=0}\)
po \(\displaystyle{ y: 1+ ae^{x+y}-ax=0}\)
po \(\displaystyle{ a: e^{x+y}-xy-1=0}\)
i nie potrafię z nich wyznaczyć \(\displaystyle{ a,x}\) i \(\displaystyle{ y}\)

[a4karo]

Odejmij dwa pierwsze równania od siebie. rozpatrz osobno \(\displaystyle{ a=0}\) i \(\displaystyle{ a\neq 0}\)

[Robert313]

a nie może być równe \(\displaystyle{ 0}\) bo wtedy z pierwszego i drugiego równania:
\(\displaystyle{ 1=0}\)
dla \(\displaystyle{ a}\) różnego od \(\displaystyle{ 0}\):
\(\displaystyle{ y=x}\)
i podstawiając do 3 :
\(\displaystyle{ e^{2x}-x^2-1=0}\)
i nie potrafię rozwiązać takiego równania...

[a4karo]

A wstaw to jeszcze do np pierwszego. Teraz będziesz mógł wyeliminować nieciekawy wyraz wykładniczy

[Robert313]

hmm..
\(\displaystyle{ 1+ae^{x+x}-ax=1+ae^{2x}-ax=0}\)
o to chodziło?
ale nie wiem jak to wykorzystać

[a4karo]

Przede wszystkim używaj Latexa.

Tu masz \(\displaystyle{ e^{2x}}\) i w (3) też. Może coś wyjdzie-- 19 wrz 2015, o 20:41 --Nie, chyba już nic więcej z tego nie wyjdzie. Po prostu równanie \(\displaystyle{ e^{2x}-x^1=1}\) ma dwa rozwiązania. Jednym jest \(\displaystyle{ x=0}\), drugie jest dodatnie i można je wyznaczyć metodami przybliżonymi.