Logarytmy - dwa zadania i problem

[Tom555]

Zadanie 1.
Wykaż że jeśli \(\displaystyle{ b,c \in R_{+}}\) i \(\displaystyle{ \ log_{2} \ b+log_{2} \ c+1 \ = \ log_{2} \ (b^{2}+c^{2})}\), to \(\displaystyle{ b=c}\)

Zadanie 2.
Wykaż że dla dowolnych dodatnich liczb a i b równanie \(\displaystyle{ log \ a \cdot x^{2} + log \ b \ = \ log(ab)^{x}}\) ma co najmniej jedno rozwiązanie. Kiedy równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie?


Zadanie 3.
Właściwie pytanie, co do logarytmów:

jak mam np taką postać \(\displaystyle{ log_{2} \ (a \ + \ b)}\)

Czy moge to zapisać jako \(\displaystyle{ log_{2} \ a \ + log_{2} b}\) ?

Często się w zadaniach spotykam z podobnymi sytuacjami i nie wiem z której strony to ugryźć.

Pozdrawiam

[Brzytwa]

1.
\(\displaystyle{ \ log_{2} \ b+log_{2} \ c+1 \ = \ log_{2} \ (b^{2}+c^{2})}\)
\(\displaystyle{ \log_{2}2bc=\log_{2}(b^{2}+c^{2})}\)
\(\displaystyle{ 2bc=b^{2}+c^{2}}\)
\(\displaystyle{ (b-c)^{2}=0}\)

[JankoS]

Zadanie 3. NIE.
W dwóch pierwszych zadaniach trzeba skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ log(xy)=lgox+logy.}\)
Np.: zadanie 2. \(\displaystyle{ logax^2+logb=logabx^2=log \left(ab \right) ^x \Leftrightarrow abx^2=\left(ab \right) ^x.}\) Dla założonych wartości a, b wykresem lewej strony ostatniej równości jest wykres paraboli o minimum w (0,0), lewej - wykres funkcji wykładniczej przechodzący przez (0, 1). *Tak więc dla dodatnich a, b równanie ma zawsze dwa rozwiązania.*

*...* To jest nieprawda, co zauważył Kolega Brzytwa. "Na teraz" nie mam pomysłu na rozwiązanie.

[Brzytwa]

Jankos, widzę, że ciągle się gdzieś udzielasz. Niestety ilość nie przekłada się na jakość. Stwierdzenie, że równanie \(\displaystyle{ cx^{2}=c^{x}}\) ma zawsze 2 rozwiązania powołując się na szkic wykresu to zdecydowanie za mało. Już nie mówiąc, że np dla \(\displaystyle{ c=\frac{1}{10}}\) twierdzenie jest nieprawdziwe.

[JankoS]

Jankos, widzę, że ciągle się gdzieś udzielasz.

Wolmo mi. Gwarantuje mi to Konstytucja i Regulamin forum.
Czemu ma służyć powyższa uwaga i czym jest powodowana?.... Nie wystrczyłoby napisać, że się pomyliłem. Zawsze staram sę poprawić błędy.
Niech Kolega spojrzy na ostatnią linijkę swojego posta z odpowiedzią, gdzie także nie ustrzegł się błędu,
U mnie przynajmniej można powiedzieć, że odpowiedź jest fałszywa, Zapis \(\displaystyle{ \left(b-c \right) ^2}\) nie ma sensu.

[liu]

Tylko, że brzytwa po prostu zrobił literówkę i mu się zgubiło "=0".

[Tom555]

OK, czyli jak w końcu ma wyglądać rozwiązanie? Chodzi o zadanie numer 2.
\(\displaystyle{ abx^{2}=(ab)^{x}}\)

Tyle jak narazie wiadomo. No i dodatkowo wiem jak wygląda wykres lewej strony równania (parabola). Może ktoś poprawnie to dokończyć?

[Brzytwa]

Czemu ma służyć powyższa uwaga i czym jest powodowana?

Uwaga ta ma służyć temu, żebyś bardziej ważył co piszesz. To, że popełniłeś błąd to nie ma znaczenia. Chodzi o to, że twoja metoda dowodzenia jest nie do przyjęcia, co skutkuje nie tylko niepoprawnością dowodu, ale też "uczy" innych niepoprawnego dowodzenia.
Dodatkowo nie podoba mi się twoje wielokrotne "poprawianie" m.in moich rozwiązań, które na dobrą sprawę nic nie wnoszą. Lepiej skupić się na mniejszej ilości problemów, ale tak, aby wkład do rozwiązania danego problemu był odpowiedni.

[del1071]

Mogłby ktoś pokazać rozwiązanie zadania 2.?

Stanęło na tym, że

\(\displaystyle{ x^2 = (ab)^{x-1}}\)

Na podstawie wykresu wywnioskowałem, że równanie ma dwa rozwiązania, gdy \(\displaystyle{ ab \ge 1}\). Z kolei jedno rozwiązanie, gdy \(\displaystyle{ 0<ab<1}\).

Nie mam jednak pomysłu jak to udowodnić algebraicznie.

[Brzytwa]

Niech \(\displaystyle{ ab=t}\) (wyłącznie ze względu na zapis). Oczywiście \(\displaystyle{ t>0}\)

\(\displaystyle{ x^{2}=t^{x-1}}\)

1) Jeśli \(\displaystyle{ t=1}\) to \(\displaystyle{ x= \pm 1}\), czyli mamy 2 rozwiązania.

2) Jeśli \(\displaystyle{ t \neq 1}\), to:

\(\displaystyle{ \log_{t}x^{2}=\log_{t}(t^{x-1})}\) (możemy tak zrobić, bo \(\displaystyle{ t^{x-1}>0}\))

\(\displaystyle{ 2\log_{t}|x|=x-1}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ 2\log_{t}|x|>0}\), mogę założyć, że \(\displaystyle{ x>0}\):

\(\displaystyle{ 2\log_{t}x=x-1}\)

a) Jeśli \(\displaystyle{ t<1}\) to \(\displaystyle{ g(x):=2\log_{t}x}\) jest funkcją malejącą, a \(\displaystyle{ h(x):=x-1}\) funkcją rosnącą, zatem mają co najwyżej jeden punkt wspólny. Łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ g(1)=h(1)}\), zatem mają dokładnie jeden punkt wspólny

b) Jeśli \(\displaystyle{ t>1}\) to mamy:

\(\displaystyle{ j(x):=2\log_{t}x-x+1}\)

\(\displaystyle{ j'(x)=\frac{2}{x \cdot \ln t} -1}\)

Pochodna zeruje się (i zmienia znak z + na -) dla \(\displaystyle{ x_{0}=\frac{2}{\ln t}}\), więc w tym punkcie mamy jedyne ekstremum (maksimum). Zatem mamy co najwyżej 2 miejsca zerowe. Ponieważ:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \lim_{x \to 0} j(x)= - \infty \\ \lim_{x \to \infty} j(x)= - \infty \end{cases}}\)

Więc wystarczy jeszcze wskazać argument dla którego \(\displaystyle{ j(x)}\) przyjmuje wartość dodatnią .

Oczywiście dla \(\displaystyle{ t=e^{2}}\) ta sztuka się nam nie uda, gdyż wówczas \(\displaystyle{ x_{0}=1}\), a jak wiemy \(\displaystyle{ j(1)=0}\), więc wówczas mamy jedno rozwiązanie.

Dla pozostałych pokażę, że taką zawsze będziemy wstanie taki argument znaleźć. Załóżmy, że tak nie jest - funkcja \(\displaystyle{ j}\) jest niedodatnio określona. Wówczas dla \(\displaystyle{ x=1}\) osiąga swoje maksimum. To z kolei oznaczałoby, że \(\displaystyle{ j'(1)=0}\), a to z kolei pociągałoby \(\displaystyle{ t=e^{2}}\). Zatem funkcja j nie jest niedodatnio określona, czyli zawsze znajdziemy argument o dodatniej wartości. To nam daje 2 różne miejsca zerowe, czyli w konsekwencji 2 różne rozwiązania.

[Karka]

dlaczego napisałeś ze \(\displaystyle{ log _t{|x|}>0}\) ? a jesli \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\)

[Brzytwa]

dlaczego napisałeś ze \(\displaystyle{ log _t{|x|}>0}\) ? a jesli \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\)

Racja... Na razie nie mam pomysłu jak to ładnie naprawić - można chyba tylko rozpatrzyć drugi przypadek...

[Karka]

w kazdym razie pomysl na rozwiazanie jest. Tylko ze tak sobie mysle ze to zadanko jest w zbiorze A. Kielbasy do matury 2010 a tam nie ma pochodnych. Pewnie jest tez jakis inny sposob na rozwiazanie.

[Brzytwa]

w kazdym razie pomysl na rozwiazanie jest. Tylko ze tak sobie mysle ze to zadanko jest w zbiorze A. Kielbasy do matury 2010 a tam nie ma pochodnych. Pewnie jest tez jakis inny sposob na rozwiazanie.

Jeśli się nie mylę, to w zadaniu jest tylko, żeby pokazać, że zawsze ma rozwiązanie i pytanie kiedy ma ich więcej. Jedno rozwiązanie łatwo wskazać jest nim \(\displaystyle{ x=1}\). Z odpowiedzią na drugie pytanie będzie raczej ciężko. Bo jednak trzeba wykorzystać pewne własności funkcji i z czegoś podobnego do pochodnych i tak trzeba będzie korzystać.

[akw]

A nie łatwiej zauważyć że \(\displaystyle{ log(ab)^{x}=xlog ab= x(loga+logb)}\)
I teraz rozważyć równanie kwadratowe.