pola skalarne i wektorowe

[kaatriiina]

\(\displaystyle{ rot(gradu)=rot \times (\nabla u)=rot \times (\frac{ \partial u}{ \partial x},\frac{ \partial u}{ \partial y},\frac{ \partial u}{ \partial z})=(\frac{ \partial u}{ \partial y \partial z}-\frac{ \partial u}{ \partial z \partial y},\frac{ \partial u}{ \partial z \partial x}-\frac{ \partial u}{ \partial x \partial z},\frac{ \partial u}{ \partial x \partial y}-\frac{ \partial u}{ \partial y \partial x})=(0,0,0)}\)

Mam parę pytań:
1. Gradient "ze skalara robi wektor", więc zapis jest poprawny. Z kolei rotacja (wektor---wektor) wynik należy podawać w postaci współrzędnych? (0,0,0) nie można podać wyniku 0? i w przypadku gradientu też nie można współrzędnych sumować? Tylko podać wynik (...,...,...).

2.
dywergencja (wektor---skalar)
r-wektor
\(\displaystyle{ div r=(\frac{ \partial }{ \partial x}, \frac{ \partial }{ \partial y},\frac{ \partial }{ \partial z})(x,y,z)=(\frac{ \partial x}{ \partial x},\frac{ \partial y}{ \partial y},\frac{ \partial z}{ \partial z})=(1,1,1)=(1+1+1)=3}\)
czy ten zapis jest prawidłowy?

[Kamil_B]

(0,0,0) nie można podać wyniku 0?

Można, o ile przez 0 rozumie się wektor zerowy.

i w przypadku gradientu też nie można współrzędnych sumować? Tylko podać wynik (...,...,...)

Nie można. Gradient jest wektorem a nie skalarem.

dywergencja (wektor---skalar)
r-wektor
\(\displaystyle{ div r=(\frac{ \partial }{ \partial x}, \frac{ \partial }{ \partial y},\frac{ \partial }{ \partial z})(x,y,z)=(\frac{ \partial x}{ \partial x},\frac{ \partial y}{ \partial y},\frac{ \partial z}{ \partial z})=(1,1,1)=(1+1+1)=3}\)
czy ten zapis jest prawidłowy?

Niestety nie.
Już pierwsz równośc jest zła.
Powinno być :
\(\displaystyle{ div r=(\frac{ \partial }{ \partial x}, \frac{ \partial }{ \partial y},\frac{ \partial }{ \partial z}) \circ(x,y,z)=(\frac{ \partial x}{ \partial x}+\frac{ \partial y}{ \partial y}+\frac{ \partial z}{ \partial z})=1+1+1=3}\) gdzie \(\displaystyle{ \circ}\) oznacza iloczyn skalarny.
Poza tym np. co miałaby oznacząć równośc \(\displaystyle{ (1,1,1)=3}\) ?
Po jednej stronie mamy wektor a po drugiej skalar - wielkości których nie ma jak porównać ze sobą.