Dowodzenie (roznego typu) i nie tylko

[BaruZool]

Mam tu kilkanascie zadan, prosilbym o rozwiazania krok po kroku, zebym mogl zrozumiec. Jest ich duzo i moja jedyna nadzieja jest Wasza pomoc, koledzy-uzytkownicy, jako ze najprosciej byloby poprosic o to korepetytora, tylko pieniazkow brak

1. Dowiedź, ze liczba \(\displaystyle{ ln = n^{3} + n^{2} - n - 3}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest liczba naturalna nieparzysta, dzieli sie przez \(\displaystyle{ 48}\)
2. Ile zer jest na koncu iloczynu wszystkich liczb naturalnych od 1 do 100 (znalazlem juz to zadanie na tym forum i znam rozwiazanie, ale nie rozumiem, niestety)
3. Dowiedź, ze liczby \(\displaystyle{ 2^{3n} + 1}\) sa zlozone dla kazdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \ge 1}\).
4. Rozwiaz nierownosc \(\displaystyle{ 12^{n} > 4^{n+3}}\) w zbiorze liczb naturalnych.
5. Pokaz, ze wyrazenie \(\displaystyle{ 2a^{2} + 2b^{2}}\) mozna przedstawic w postaci sumy dwoch kwadratow.
6. Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji: \(\displaystyle{ y = | \frac{1}{2}x| - 2}\) i \(\displaystyle{ y = -| \frac{1}{2}x| + 2}\)
7. Rozwiaz w zbiorze liczb naturalnych rownanie: \(\displaystyle{ (\frac{ \sqrt{5} - 1}{2})^{2}x + ( \frac{ \sqrt{5} - 1}{2})^{3}y = 1}\)
8. Wyznacz promien kola, ktorego pole bedzie rowne sumie pol dwoch kol o danych promieniach.
9. Ile kilogramow kwasu siarkowego \(\displaystyle{ 20 \%}\) i ile kg kwasu siarkowego \(\displaystyle{ 5 \%}\) nalezy zmieszac, aby otrzymac \(\displaystyle{ 24kg}\) kwasu siarkowego o stezeniu \(\displaystyle{ 10 \%}\)?
10. Czworokat wypukly podzielono na czery czesci, laczac srodki przeciwleglych bokow. Dowiedz, ze sumy pol czesci stykajacych sie tylko wierzcholkami sa rowne.
11. Rowerzysta jadac z miasta A do miasta B pokonuje wzniesienia. Pod gore jedzie z predkoscia \(\displaystyle{ 10km/h}\), a z gory \(\displaystyle{ 20km/h}\). Droge z \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ B}\) pokonal w \(\displaystyle{ 3,5 \ godziny}\), a droge powrotna w czasie \(\displaystyle{ 4 \ godzin}\). Jaka jest odleglosc miedzy tymi miastami?
12. Udowodnij, ze trojkat,w ktorym dwie srodkowe sa rowne, jest trojkatem rownoramiennym.
13. Udowodnij, ze dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ a1, a2, b1, b2}\) prawdziwa jest nierownosc: \(\displaystyle{ |a1b1 + a2b2| \le \sqrt{a1^{2} + a2{2}} \cdot \sqrt{b1^{2} + b2{2}}}\).
14. Dany jest prostokat o bokach dlugosci \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b \ (a \neq b)}\). Skonstruuj kwadrat, ktorego pole jest rowne polu danego prostokata.
a) Opisz wykonana konstrukcje.
b) Uzasadnij jej poprawnosc.
15. Rozwiaz uklad rownan: \(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{3}|x| + |y| = 1 \\ x^{2} + y^{2} - 2y = 0 \end{cases}}\).
a) Sporzadz wykresy obu rownan tego ukladu.
b) Oblicz pole i obwod czesci wspolnej figury ograniczonych tymi wykresami.
16. Dla jakich wartosci parametru \(\displaystyle{ m}\) funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} x^{2} + (2-3m)x + m + 2, \ dla \ x \ge 0 \\ (m - 1)X+2, \ dla \ x<0 \end{cases}}\) przyjmuje wartosci dodatnie dla wszystkich liczb \(\displaystyle{ x \in R}\).
17. Udowodnij, ze jezeli \(\displaystyle{ x \ge \sqrt{y} \ i \ y \ge 0, \ to \ \sqrt{x \pm \sqrt{y} } = \frac{\sqrt{x+ \sqrt{x^{2} - y} } }{2} \pm \frac{ \sqrt{x - \sqrt{x^{2} - y} } }{2}}\).
Przedstaw wyrazenie: \(\displaystyle{ 2 \sqrt{3+ \sqrt{5- \sqrt{13 + \sqrt{48} } } }}\) w postaci sumy dwoch liczb niewymiernych.
18. Rozwiaz uklad rownan: \(\displaystyle{ \begin{cases} x + [y] + (z) = 1,1 \\ (x) + y + [z] = 2,2 \\ [x] + (y)+ z = 3,3 \end{cases}}\), gdzie \(\displaystyle{ [a]}\) oznacza najwieksza liczbe calkowita nie wieksza od \(\displaystyle{ a}\), zas \(\displaystyle{ (a) = a - [a]}\).
19. Wykaz, ze suma dlugosci srodkowych trojkata jest wieksza od polowy obwodu i mniejsza od obwodu tego trojkata.
20. Na trojkacie rownobocznym \(\displaystyle{ ABC}\) opisano okrag. Na luku \(\displaystyle{ BC}\) nie przechodzacym przez punkt \(\displaystyle{ A}\) wybrano punkt \(\displaystyle{ F}\) rozny od koncow luku. Odcinki \(\displaystyle{ AP}\) i \(\displaystyle{ BC}\) przecinaja sie w punkcie \(\displaystyle{ K}\). Udowodnij, ze \(\displaystyle{ \frac{1}{|PK|} = \frac{1}{|PB|} + \frac{1}{|PC|}}\).
21. Wiadomo, ze \(\displaystyle{ x^{2} + xy + y^{2} = 4, \ x^{4} + x{2}y{2} + y^{4} = 8}\). Wyznacz \(\displaystyle{ x^{6} + x^{3}y{3} + y{6}}\).
22. Udowodnij, ze dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a, \ b, \ c, \ d}\) prawdziwa jest nierownosc \(\displaystyle{ \sqrt{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{ab} + \sqrt{cd}}\).

[pawliszak]

9.
x - kwas 20% y - kwas 5%
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=24 \\ 0,2x+0,05y=2,4 \end{cases}
\begin{cases} x=8\\ y=16 \end{cases}}\)

[Dumel]

5. jest nieprecyzyjne, bo wątpię aby chodziło o coś tak trywialnego jak:
\(\displaystyle{ 2a^2+2b^2= (\sqrt{2a^2+2b^2})^2+0^2}\)

ostatnie: przypadek szczególny nierówności Minkowskiego

[BaruZool]

Znalazlem te nierownosci Minkowskiego na wikipedii, ale jest to nieprzystepne dla takiego szesnastolatka jak ja ^^ Na pewno da sie to jakos udowodnic na poziomie klasy I liceum, wierze w to!

[Dumel]

tak, podnieś obie strony do kwadratu, poredukuj co sie da i zwiń do pełnego kwadratu

[yuio]

zadanie 4

\(\displaystyle{ (3 \cdot 4) ^{n} >4 ^{n+3}}\)

\(\displaystyle{ 3 ^{n} \cdot 4 ^{n} >4 ^{n} \cdot 3}\)

\(\displaystyle{ 3 ^{n} >3 ^{1}}\)

\(\displaystyle{ n>1 \wedge n \in N}\)

zadanie 5

\(\displaystyle{ 2a ^{2} +2b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}+a^{2}-2ab+b^{2}=(a+b)^{2}+(a-b)^{2}}\)

zadanie8

\(\displaystyle{ P_{1}= \pi r_{1}^{2}}\)

\(\displaystyle{ P_{2}= \pi r_{2}^{2}}\)

\(\displaystyle{ P=P_{1}+P_{2}=\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}= \pi (r_{1}^{2}+r_{2}^{2})}\)

\(\displaystyle{ P= \pi R^{2}}\)

\(\displaystyle{ R^{2}= (r_{1}^{2}+r_{2}^{2})}\)

\(\displaystyle{ R= \sqrt{ (r_{1}^{2}+r_{2}^{2})}}\)