Całka oznaczona m. in. z wartością bezwzględną

[krzysiekku]

Pierwsza całka oznaczona:
\(\displaystyle{ \int_{0 }^{2 \pi } \left|cos x \right|dx}\)
Pierwsze pytanie: Czy mogę przekształcić wyrażenie \(\displaystyle{ \left|cos x \right|}\) do takiej postaci: \(\displaystyle{ \sqrt{(cos x) ^{2} }=cos x}\) czyli pozbyłbym się modułu a całka wyglądałaby tak: \(\displaystyle{ \int_{0 }^{2 \pi }cos x dx}\)
Nie wiem czy mogę zrobić tak jak napisałem powyżej- wtedy obliczyłbym tę całkę. Co jeżeli nie można tak przekształcić modułu? Gdy narysuję wykres \(\displaystyle{ y= \left|cos x \right|}\) to zauważam, że w przedziale od 0 do 2 funkcja przyjmuje co \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) tę samą wartość. Jak to wykorzystać?


2 całka:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \frac{dx}{x-1}}\)

[Inkwizytor]

Czy mogę przekształcić wyrażenie \(\displaystyle{ \left|cos x \right|}\) do takiej postaci: \(\displaystyle{ \sqrt{(cos x) ^{2} }=cos x}\)

Nie, bo wg. tego: \(\displaystyle{ \left|cos x \right| = \sqrt{(cos x) ^{2} } =cos x}\) czyli \(\displaystyle{ \left|cos x \right|=cos x}\) co nie jest prawdą dla podanego przedziału całkowania.
Narysuj wykres \(\displaystyle{ y=\left|cos x \right|}\) zauważ że to jest dwukrotnie ten sam "łuk". Więc po co liczyć dwa razy to samo. Liczysz całkę dla jednego "łuku", a wynik pomnóż razy 2.-- 28 lut 2010, o 22:59 --

2 całka:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \frac{dx}{x-1}}\)

Całka niewłaściwa
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \frac{dx}{x-1} = \lim_{ t\to 0^{+}} \left[ \int_{0}^{1-t} \frac{dx}{x-1} + \int_{1+t}^{2} \frac{dx}{x-1} \right]}\)