[Nierówności] wykazanie nierówności

[robin5hood]

Niech \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) i \(\displaystyle{ a+b+c=3}\). Pokaż że
\(\displaystyle{ \frac{1}{2+a^2b}+\frac{1}{2+b^2c}+\frac{1}{2+c^2a} \le \frac{3}{5}+\frac{2(a^3+b^3+c^3)}{15}}\)

[frej]

Zapiszmy ją jako \(\displaystyle{ \sum \frac{15}{2+a^2b} \le 9+2\sum a^3}\). Na mocy HM-GM mamy
\(\displaystyle{ 5\sum \frac{3}{1+1+\frac{1}{\frac{1}{a^2b}}}\le 5\sum \sqrt[3]{\frac{1}{a^2b}} = 5\sum \frac{1}{a} \sqrt[3]{\frac{a}{b}}}\)

Z ważonego Jensena mamy nierówność dla wklęsłej funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^\frac{1}{3}}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ 5\sum \frac{1}{a} f(\frac{a}{b})\le 5 \sum \frac{1}{a} f\left( \sum \frac{\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{a}}{\sum \frac{1}{a}} \right)=5\sum \frac{1}{a}}\)

Żeby dowieść nierówności wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ 5\sum \frac{1}{a} \le 9+ 2\sum a^3}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ 2x^3+3-\frac{5}{x} \ge 11(x-1) \;\; \Leftrightarrow \; \; 2\frac{(x-1)^2}{x} \left( x^2+2x+3 \right) \ge 0}\), więc
\(\displaystyle{ 2\sum a^3 +9 -5\sum \frac{1}{a} \ge 11 \sum (a-1)=0}\)

Mam nadzieję, że się nie pomyliłem

[kubek1]

Masz błąd na samym początku, bo wziąłeś w drugiej linijce zamiast \(\displaystyle{ a^2b}\) \(\displaystyle{ 1/(a^2b)}\)

[frej]

...
No cóż, będę próbował dalej. Swoją drogą ciekaw jestem jak tego nie zauważyłem wcześniej

[schmude]

Ale to jest przecież tylko literówka i frej zastosował nierówność o średnich jakby tam było \(\displaystyle{ a^2b}\).

Ja bym się przyczepił jak już to do dalszej części. Jeśli chodzi o wagi to o ile się nie mylę, to muszą się one sumować do 1, natomiast w poleceniu jest, że suma odwrotności wag wynosi 3.

[Dumel]

przyjrzyj się dokładniej. wagi są równe
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{a} }{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}}\) itd

[schmude]

Już widzę. Racja

[frej]

Ech, jak łatwo sprawić, żebym uwierzył w błąd w moim rozwiązaniu Już poprawiam zapis, do którego przyczepił się kubek1, Mam nadzieję, że teraz jest OK. Umie ktoś udowodnić tę nierówność ładniej? Chętnie zobaczyłbym jakieś zgrabniejsze rozwiązanie niż te moje.

[Dumel]

jeszcze jedna literówka- jak używasz Jensena to tam po lewej stronie powinno być 5 a nie 6.