Środkowa trójkąta

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
Frewew
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 24 lut 2010, o 21:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 14 razy

Środkowa trójkąta

Post autor: Frewew »

Jak udowodnić prawdziwość wzoru:
\(\displaystyle{ S _{a}= \frac{1}{2} \sqrt[2]{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}\)

Próbowałem z twierdzenia cosinusów, ale coś mi nie wychodzi
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Środkowa trójkąta

Post autor: Crizz »

Z twierdzenia cosinusów:
niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie jednym z kątów między bokiem \(\displaystyle{ a}\) oraz rozważaną środkową \(\displaystyle{ s_{a}}\) (a dokładniej tym kątem, który jest jednym z kątów trójkąta złożonego z boków \(\displaystyle{ \frac{1}{2}a,s_{a},c}\)). Wówczas z twierdzenia cosinusów:
\(\displaystyle{ c^{2}=s_{a}^{2}+\frac{a^{2}}{4}-as_{a}cos\alpha}\) ...(1)
\(\displaystyle{ b^{2}=s_{a}^{2}+\frac{a^{2}}{4}-as_{a}cos(180^{o}-\alpha)}\) ...(2)
Drugie z równań przekształcamy, korzystając ze wzoru redukcyjnego:
\(\displaystyle{ b^{2}=s_{a}^{2}+\frac{a^{2}}{4}+as_{a}cos\alpha}\) ...(3)
Równania (1) i (3) dodajemy stronami:
\(\displaystyle{ b^{2}+c^{2}=2s_{a}^{2}+\frac{a^{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2s_{a}^{2}=b^{2}+c^{2}-\frac{a^{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ s_{a}^{2}=\frac{ 2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4} } |\sqrt{ \quad }}\)
\(\displaystyle{ s_{a}=\frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}\)
ODPOWIEDZ