teoria pól-rot

kaatriiina · Post autor: **kaatriiina** » 26 lut 2010, o 17:58

Udowodnić:
\(\displaystyle{ rotrotB=grad(divB)-\Delta B}\)
\(\displaystyle{ rotB=(\frac{ \partial B{z}}{ \partial y}-\frac{ \partial B_{y}}{ \partial z},\frac{ \partial B_{x}}{ \partial z}-\frac{ \partial B_{z}}{ \partial x},\frac{ \partial B_{y}}{ \partial x}-\frac{ \partial B_{x}}{ \partial y})}\)
\(\displaystyle{ rot rotB}\) to mi się wyzeruje...
jakiś pomysł?

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 27 lut 2010, o 00:43

kaatriiina pisze: \(\displaystyle{ rot rotB}\) to mi się wyzeruje...

Spokojnie, nie wyzeruje się
Sprawdź jeszcze raz obliczenia.

kaatriiina · Post autor: **kaatriiina** » 27 lut 2010, o 12:24

\(\displaystyle{ rot (\frac{ \partial B{z}}{ \partial y}-\frac{ \partial B_{y}}{ \partial z},\frac{ \partial B_{x}}{ \partial z}-\frac{ \partial B_{z}}{ \partial x},\frac{ \partial B_{y}}{ \partial x}-\frac{ \partial B_{x}}{ \partial y})=\frac{ \partial B_{x}}{ \partial z}-\frac{ \partial B_{z}}{ \partial x}-\frac{ \partial B_{y}}{ \partial x}+\frac{ \partial B_{x}}{ \partial y}+\frac{ \partial B_{y}}{ \partial x}-\frac{ \partial B_{x}}{ \partial y}-\frac{ \partial B{z}}{ \partial y}+\frac{ \partial B_{y}}{ \partial z}+\frac{ \partial B{z}}{ \partial y}-\frac{ \partial B_{y}}{ \partial z}-\frac{ \partial B_{x}}{ \partial z}+\frac{ \partial B_{z}}{ \partial x}=0}\)

??

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 27 lut 2010, o 12:34

\(\displaystyle{ rotB}\) jest policzona dobrze.
Potem dzieją się jednak dziwne rzeczy.
Po pierwsze rot(rotB) to wektor a nie liczba.
Po drugie powinny pojawić się pochodne cząstkowe drugiego rzędu B.

kaatriiina · Post autor: **kaatriiina** » 27 lut 2010, o 12:59

rotrotB najpierw \(\displaystyle{ rotB= \nabla \times B}\) i potem rozpisałam \(\displaystyle{ \nabla \times rotB}\) ... ?
jak powinnam to rozpisać?

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 27 lut 2010, o 13:14

No właśnie źle rozpisujesz.
Jak już napisałem powinnaś dostac wektor z pochodnymi drugiego rzędu B.
Liczy się dokładnie tak samo jak rotB tylko w miejsce B masz rotB.
Dla przykładu pierwsza współrzędna to:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial y}\left( \frac{ \partial B_{y}}{ \partial x}-\frac{ \partial B_{x}}{ \partial y} \right) - \frac{ \partial }{ \partial z}\left( \frac{ \partial B_{x}}{ \partial z}-\frac{ \partial B_{z}}{ \partial x} \right)}\)

kaatriiina · Post autor: **kaatriiina** » 27 lut 2010, o 13:47

I współrzędna: \(\displaystyle{ \frac{\partial^{2}B_{y}}{\partial y \partial x}-\frac{\partial^{2}B_{x}}{\partial y^{2}}-\frac{\partial^{2}B_{x}}{\partial z^{2}}+\frac{\partial^{2}B_{z}}{\partial z \partial x}}\)
II współrzędna: \(\displaystyle{ \frac{\partial^{2}B_{z}}{\partial z \partial y}-\frac{\partial^{2}B_{y}}{\partial z^{2}}-\frac{\partial^{2}B_{y}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}B_{x}}{\partial x \partial y}}\)
III współrzędna: \(\displaystyle{ \frac{\partial^{2}B_{x}}{\partial x \partial z}-\frac{\partial^{2}B_{z}}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}B_{z}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}B_{y}}{\partial y \partial z}}\)

\(\displaystyle{ rotB=\frac{\partial^{2}B_{y}}{\partial y \partial x}-\frac{\partial^{2}B_{x}}{\partial y^{2}}-\frac{\partial^{2}B_{x}}{\partial z^{2}}+\frac{\partial^{2}B_{z}}{\partial z \partial x}+\frac{\partial^{2}B_{z}}{\partial z \partial y}-\frac{\partial^{2}B_{y}}{\partial z^{2}}-\frac{\partial^{2}B_{y}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}B_{x}}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2}B_{x}}{\partial x \partial z}-\frac{\partial^{2}B_{z}}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}B_{z}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}B_{y}}{\partial y \partial z}}\)

widać \(\displaystyle{ -\Delta B}\)
Natomiast
\(\displaystyle{ graddivB=(\frac{\partial}{ \partial x},\frac{\partial}{ \partial y},\frac{\partial}{ \partial z})(\frac{\partial B_{x}}{ \partial x},\frac{\partial B_{y}}{ \partial y},\frac{\partial B_{z}}{ \partial z})=\frac{ \partial ^{2} B_{x}}{ \partial x^{2}},\frac{ \partial ^{2} B_{y} }{ \partial y^{2}},\frac{ \partial ^{2}B_{z}}{ \partial z^{2}}}\) a co z pochodnymi mieszanymi yx xy ?

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 27 lut 2010, o 19:37

kaatriiina pisze:
\(\displaystyle{ rotB=\frac{\partial^{2}B_{y}}{\partial y \partial x}-\frac{\partial^{2}B_{x}}{\partial y^{2}}-\frac{\partial^{2}B_{x}}{\partial z^{2}}+\frac{\partial^{2}B_{z}}{\partial z \partial x}+\frac{\partial^{2}B_{z}}{\partial z \partial y}-\frac{\partial^{2}B_{y}}{\partial z^{2}}-\frac{\partial^{2}B_{y}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}B_{x}}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2}B_{x}}{\partial x \partial z}-\frac{\partial^{2}B_{z}}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}B_{z}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}B_{y}}{\partial y \partial z}}\)

Tutaj nie wiem co się dzieje, bo to na pewno nie jest rotB.
Rozpisz sobie najlepiej spokojnie \(\displaystyle{ \Delta B=(\Delta B_{x},\Delta B_{y},\Delta B_{z})}\)
i wtedy sprawdź czy lewa strona równa się prawej.

kaatriiina · Post autor: **kaatriiina** » 27 lut 2010, o 20:32

Obliczyłam współrzędne. Moja pomyłka...

Tam powinien być zapis rot rotB...

jak wyprowadzić powyższy związek... To jest dla mnie ważne... Pomożesz mi?

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 27 lut 2010, o 20:56

Nawet jeśli tam jest ror(rotB) to i tak to nie ma sensu.
Musisz najpierw zrozumiec, ze rotacja jest polem wektorowym, natomiast dywergencja jest skalarem. To jest zasadnicza różnica.
Po drugie - teaz widzę, ze źle jest policzony \(\displaystyle{ grad(divB)}\).
Zauważ, że \(\displaystyle{ divB=\frac{\partial B_{x}}{ \partial x}+\frac{\partial B_{y}}{ \partial y}+\frac{\partial B_{z}}{ \partial z}}\) a to nie jest to samo co \(\displaystyle{ \left(\frac{\partial B_{x}}{ \partial x},\frac{\partial B_{y}}{ \partial y},\frac{\partial B_{z}}{ \partial z}\right)}\)
Wtedy \(\displaystyle{ grad(divB)=\left(\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial B_{x}}{ \partial x}+\frac{\partial B_{y}}{ \partial y}+\frac{\partial B_{z}}{\partial z} \right), \ ... \ , \ ... \ \right)}\)
Drugą i trzecią wspólrzędną oblicz sama. Na spokojnie

kaatriiina · Post autor: **kaatriiina** » 27 lut 2010, o 21:35

\(\displaystyle{ grad(divB)=(\frac{ \partial ^{2}B_{x}}{ \partial x^{2}}+\frac{ \partial ^{2}B_{y}}{ \partial x \partial y}+\frac{ \partial ^{2}B_{z}}{ \partial x \partial z}, \frac{ \partial ^{2}B_{x}}{ \partial y \partial x}+\frac{ \partial ^{2}B_{y}}{ \partial y^{2}}+\frac{ \partial ^{2}B_{z}}{ \partial y \partial z}, \frac{ \partial ^{2}B_{x}}{ \partial z \partial x}+\frac{ \partial ^{2}B_{y}}{ \partial z \partial y}+\frac{ \partial ^{2}B_{z}}{ \partial z^{2}})}\)
z kolei
\(\displaystyle{ \Delta B=(\frac{ \partial ^{2}B_{x}}{ \partial x^{2}}+\frac{ \partial ^{2}B_{y}}{ \partial y^{2}}+\frac{ \partial ^{2}B_{z}}{ \partial z^{2}})}\)

czyli powinnam udowodnić
\(\displaystyle{ grad(divB)- \Delta B=(\frac{ \partial ^{2}B_{x}}{ \partial x^{2}}+\frac{ \partial ^{2}B_{y}}{ \partial x \partial y}+\frac{ \partial ^{2}B_{z}}{ \partial x \partial z}, \frac{ \partial ^{2}B_{x}}{ \partial y \partial x}+\frac{ \partial ^{2}B_{y}}{ \partial y^{2}}+\frac{ \partial ^{2}B_{z}}{ \partial y \partial z}, \frac{ \partial ^{2}B_{x}}{ \partial z \partial x}+\frac{ \partial ^{2}B_{y}}{ \partial z \partial y}+\frac{ \partial ^{2}B_{z}}{ \partial z^{2}}) -(\frac{ \partial ^{2}B_{x}}{ \partial x^{2}}+\frac{ \partial ^{2}B_{y}}{ \partial y^{2}}+\frac{ \partial ^{2}B_{z}}{ \partial z^{2}})}\)

Obliczyłam rotB potem

\(\displaystyle{ rot (rotB)= (\frac{\partial^{2}B_{y}}{\partial y \partial x}-\frac{\partial^{2}B_{x}}{\partial y^{2}}-\frac{\partial^{2}B_{x}}{\partial z^{2}}+\frac{\partial^{2}B_{z}}{\partial z \partial x},\frac{\partial^{2}B_{z}}{\partial z \partial y}-\frac{\partial^{2}B_{y}}{\partial z^{2}}-\frac{\partial^{2}B_{y}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}B_{x}}{\partial x \partial y},\frac{\partial^{2}B_{x}}{\partial x \partial z}-\frac{\partial^{2}B_{z}}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}B_{z}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}B_{y}}{\partial y \partial z})}\)

Na czym polega mój bład?

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 27 lut 2010, o 21:48

Źle liczysz \(\displaystyle{ \Delta B=(\frac{ \partial ^{2}B_{x}}{ \partial x^{2}}+\frac{ \partial ^{2}B_{y}}{ \partial y^{2}}+\frac{ \partial ^{2}B_{z}}{ \partial z^{2}})}\).
Zauważ, że \(\displaystyle{ \Delta B=(\Delta B_{x},\Delta B_{y},\Delta B_{z})}\)

kaatriiina · Post autor: **kaatriiina** » 27 lut 2010, o 22:31

\(\displaystyle{ \Delta B=(\frac{ \partial ^{2}}{ \partial x^{2}}+\frac{ \partial ^{2}}{ \partial y^{2}}+\frac{ \partial ^{2}}{ \partial z^{2}})(B_{x},B_{y},B_{z})=(\frac{ \partial ^{2}B_{x}}{ \partial x^{2}},\frac{ \partial ^{2}B_{y}}{ \partial y^{2}},\frac{ \partial ^{2}B_{z}}{ \partial z^{2}})}\)
tylko nadal nie widzę tej tożsamości...
co jest w dalszym ciągu źle?

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 27 lut 2010, o 22:37

Napisałem przecież, że:
\(\displaystyle{ \Delta B=(\Delta B_{x},\Delta B_{y},\Delta B_{z})}\)- to jest pole wektorowe
Dla przykłdu:
\(\displaystyle{ \Delta B_{x}=\frac{ \partial ^{2}B_{x}}{ \partial x^{2}}+\frac{ \partial ^{2}B_{x}}{ \partial y^{2}}+\frac{ \partial ^{2}B_{x}}{ \partial z^{2}}}\)
Reszta analogicznie

kaatriiina · Post autor: **kaatriiina** » 27 lut 2010, o 22:54

Dziękuję za pomoc