Wykaż że liczba jest całkowia

[Goju]

Zad.1. Wykaż, że dla dowolnej liczby całkowitej \(\displaystyle{ n}\) liczba: \(\displaystyle{ \frac{ n^{4} }{24} + \frac{ n^{3} }{4} + \frac{11 n^{2} }{24} + \frac{n}{4}}\) jest całkowita.

Zad.2. Wykaż, że jeżeli liczba \(\displaystyle{ m}\) należy do całkowitych, to: \(\displaystyle{ m^{6} - 2 m^{4} + m^{2}}\) jest podzielne przez 36.

Zad.3. Uzasadnij, że liczba \(\displaystyle{ 78^{6} - 23^{6}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5555}\)

Zad.4. Znajdź wszystkie trójki \(\displaystyle{ (a, m, n)}\) liczb naturalnych takie, że: \(\displaystyle{ a^{m} - a^{n} = 6}\)

[TheBill]

1. Wspólny mianownik, wykazać że dla każdego \(\displaystyle{ n}\) licznik dzieli się przez \(\displaystyle{ 24}\)
2. \(\displaystyle{ m ^{2}}\) wyciągnij przed nawias, szukaj wzoru na kwadrat różnicy
3. wzór na różnice sześcianów.
4. Widać, że \(\displaystyle{ m>n}\)
\(\displaystyle{ a^m-a^n=6}\)
\(\displaystyle{ a ^{n} (a ^{m-n}-1)=6}\)
\(\displaystyle{ 6=1 \cdot 6 = 6 \cdot 1 = 2 \cdot 3 = 3 \cdot 2}\)
Wydaje mi sie, że z takiego zapisu, można wnioskować brak rozwiązań.
Nie podoba mi sie to, może ktoś inny wymyśli coś lepszego :/

[Goju]

Do tego zadania 4 jest rozwiązanie: \(\displaystyle{ 2^{3} - 2^{1} = 8-2=6}\) Tylko nie wiem jak to wykazać bo to tak tylko w głowie.

W zadaniu drugim doszedłem do tego: \(\displaystyle{ m^{2} (m^{2} -1)^{2}}\) i co dalej?

A w pierwszym po sprowadzeniu do wspólnego mianownika nie umiem dalej ruszyć :/

Zadanie trzecie wiem jak zrobić

[TheBill]

Tak myślałem, że 4 będzie źle
zad 1, 2 - dalej rozkład na czynniki, zrobię Ci drugie, pierwsze spróbuj sam

\(\displaystyle{ m^{2} (m^{2} -1)^{2} = \left[m (m^{2} -1) \right] ^{2} = \left[(m-1)m(m+1) \right] ^{2}}\)

Jest to kwadrat iloczynu trzech kolejnych liczb.
Iloczyn trzech kolejnych liczb zawsze dzieli sie przez \(\displaystyle{ 3!=6}\), a \(\displaystyle{ 6 ^{2} =36}\)
Zatem \(\displaystyle{ 36}\) dzieli \(\displaystyle{ \left[(m-1)m(m+1) \right] ^{2}}\)

[smigol]

TheBill, Nie możesz wnioskować braku rozwiązań, przede wszystkim, że rozwiązania są
Rozpatrz poszczególne możliwości.
6=1*6
6=2*3
6=3*2
6=6*1

Masz rozkład na dwa czynniki (lewa strona ostatniego równania) więc możesz ułożyć 4 układy równań.

[TheBill]

A już wiem, gdzie mój błąd! Nie dokładnie sprawdziłem te możliwości, rzeczywiście, potęga liczby naturalnej o wykładniku naturalnym odjąć \(\displaystyle{ 1}\) może dać liczbę \(\displaystyle{ 3}\) Eureka