Wykaż, że dla dowolnych liczb a, b, c, d zachodzi nierówność

[Goju]

Zad.1. Mam wykazać że zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} \ge 4abcd}\)

Oraz:
Zad.2. Jeżeli liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) spełniają równość \(\displaystyle{ a+b=1}\), to
\(\displaystyle{ a^{4} + b^{4} \ge \frac{1}{8}}\)

Z góry dziękuję za pomoc. Przygotowuję się do konkursu i potęgi do trzeciej i do drugiej opanowane tylko nie umiem do czwartej :/

[pawelsuz]

Znasz nierowność między średnią arytmetyczną i geometryczną? Jeśli nie to warto sie zainteresowac, bo skoro zajmujesz sie konkursami, to i tak kiedys przyjdzie pora na tę nierowność:)

[Goju]

Znam:

\(\displaystyle{ n\sqrt{ a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot ... \cdot a_{n} } \le \frac{ a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{n} }{n}}\)

[kluczyk]

No to pierwsze bezposrednio z tego. Dla n=4...

[xanowron]

Nie wiem czy to \(\displaystyle{ n}\) przy średniej geometrycznej to literówka czy nie, ale na wszelki wypadek: nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną i geometryczną wygląda tak:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot ... \cdot a_{n} } \le \frac{ a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{n} }{n}}\)

[Goju]

A jasne..... dziękuję

\(\displaystyle{ \frac{ a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4}}{4} \ge 4\sqrt {a^{4}b^{4}c^{4}d^{4}}}\)


\(\displaystyle{ \frac{ a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4}}{4} \ge abcd}\)


\(\displaystyle{ a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} \ge 4abcd}\)

A co z drugim?-- 26 lutego 2010, 23:13 --To nie literówka to pierwiastek z entej (n).

Jeśli są 3 liczby pod pierwiastkiem to pierwiastek jest z trzeciego stopnia.

[bosa_Nike]

sqrt[n]{m}=\(\displaystyle{ \sqrt[n]{m}}\)

2. Zastosuj dwa razy nierówność między średnią kwadratową, a arytmetyczną.

[Goju]

Ok, dziękuję Wam wszystkim, już wiem:

\(\displaystyle{ a^{4} + b^{4} \ge \frac{1}{8}}\)


\(\displaystyle{ \frac{a^{4} + b^{4}}{2} \ge \frac{1}{4}}\)


\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{a^{4} + b^{4}}{2}} \ge \frac{1}{2} }}\)


\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{a^{4} + b^{4}}{2}} \ge \frac{a+b}{2}}\)

A to już jest zależność średniej kwadratowej i arytmetycznej :D

[bosa_Nike]

\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{a^{4} + b^{4}}{2}} \ge \frac{a+b}{2}}\)

A to już jest zależność średniej kwadratowej i arytmetycznej :D

Nope.

\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{a^{4} + b^{4}}{2}} \ge \frac{a^2+b^2}{2}}\)

To jest zależność średniej kwadratowej i arytmetycznej. Również źle pomnożyłeś przez dwa przy przejściu z pierwszej linijki do drugiej. Zrób to, co Ci napisałam.