Oblicz granicę korzystając z tw. o 3 ciągach

Robbiex · Post autor: **Robbiex** » 26 lut 2010, o 12:19

Jak w temacie, należy obliczyć granicę następującego ciągu \(\displaystyle{ \sqrt[n]{1+4 ^{n}+7 ^{n} }}\) , posługując się tymże twierdzeniem.

Z góry dzięki za pomoc, bo nie potrafię poprawnie rozwiązywać zadań tego typu , a to tw. jest dla mnie wielką niewiadomą.

zati61 · Post autor: **zati61** » 26 lut 2010, o 12:27

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{7^n} \le \sqrt[n]{1+4 ^{n}+7 ^{n} } \le \sqrt[n]{3 \cdot 7^n}}\)
teraz liczysz granice dla ciągów ograniczających nasz ciąg z góry i dołu i jeśli te granice są równe(a są równe 7)to granica ciągu naszego jest też równa 7.

chodzi o to, ze szukamy ciagu ktory jest wiekszy od naszego i mniejszy od niego. Jesli oba daza do tej samej wartosci to automatycznie ciag znajdujacy sie pomiedzy nimi tez musi dazyc do tej granicy

Robbiex · Post autor: **Robbiex** » 26 lut 2010, o 13:30

Ok, teraz mniej więcej widzę, ale dlaczego granica tego drugiego ciągu, z prawej też wynosi 7?

zati61 · Post autor: **zati61** » 26 lut 2010, o 15:14

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{3 \cdot 7^n}= \sqrt[n]{3} \cdot \sqrt[n]{7^n}= 7 \sqrt[n]{3}}\)
a granica z tego to 7*1=7