Extrema monotoniczność i wypukłości

[BartekPlut]

Ma do rozwiązania dwa zadania:

1) wyznacz przedzialy monotoniczności i extreama funkcji:

\(\displaystyle{ f(x)=x \sqrt{-x ^{2}+8x+14 }}\)

po policzeniu pochodnej wychodzi mi cos takiego:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2* \sqrt{-x ^{2}+8x+14 }} *-2x+8}\)

Dwa pytania:
1. Czy dobrze jest to policzone
2. Jak liczmy dalej czy liczmy f'(x)><=0 i liczmy delte z tego co mamy pod pierwiastkiem w mianowniku czy jakos inaczej?

2) Wyzznacz przedziały wypukłości
f(x)=\(\displaystyle{ \frac{2lnx+1}{x}}\)

f'(x) wychodzi mi: \(\displaystyle{ \frac{2* \frac{1}{x}*x-lnx-1 }{x ^{2} }}\)
f''(x) nie wiem czy mozemy druga pochodna tak liczyc \(\displaystyle{ (\frac{2x}{x ^{2} })'-( \frac{2lnx}{x ^{2}} )'-( \frac{1}{x ^{2}} )'}\)

Nie mam pojecia czy w ogole wyniki i sposo w ajki to roziwązuje są porpawne.

[Chromosom]

W pierwszym jest źle pochodna policzona. Pamiętaj o iloczynie funkcji. Oblicz to jeszcze raz, jak będzie dobrze to pogadamy, co dalej. W drugim też źle pochodna, licz jeszcze raz.

f'(x) nie wiem czy mozemy druga pochodna tak liczyc \(\displaystyle{ (\frac{2x}{x ^{2} })'-( \frac{2lnx}{x ^{2}} )'-( \frac{1}{x ^{2}} )'}\)

gdyby \(\displaystyle{ f^\prime(x)}\) było dobrze obliczone, mógłbys tak zrobic.

[BartekPlut]

Ok teraz porapwiona pierwsza pochodna moze teraz dobrze:

korzystajac ze wzoru f'*g+f*g' wychodzi mi:

\(\displaystyle{ f^\prime(x)=\sqrt{-x^{2}+8x+14}+x* \frac{1}{2} (-x^{2}+8x+14)^{- \frac{1}{2} }*-2x+8=-2x^{2}+8x}\)

[Chromosom]

\(\displaystyle{ f^\prime(x)=\sqrt{-x^{2}+8x+14}+x* \frac{1}{2} (-x^{2}+8x+14)^{- \frac{1}{2} }*-2x+8=-2x^{2}+8x}\)

Zakładam, że wiesz, że wyrażenie \(\displaystyle{ -2x+8}\) powinno być w nawiasie (pamiętaj o zamykaniu w nawiasy!), nie wiem tylko, co dzieje się po znaku równości, ale widzę, że raczej rozumiesz materiał. Poprawna postać pochodnej to
\(\displaystyle{ f^\prime(x)=\sqrt{-x^2+8x+14}+\frac{x(-x+4)}{\sqrt{-x^2+8x+14}}}\)
teraz przyrównaj do 0. Takie równanie łatwo rozwiążesz, mnożac je stronami przez \(\displaystyle{ \sqrt{-x^2+8x+14}}\)