Oblicz granice

BartekPlut · Post autor: **BartekPlut** » 24 lut 2010, o 19:36

\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{\arctan x-x}{x^3-2x^2}}\)

Prosze o pomoc i rozpsianie calej tej granicy co jak liczmy.

EDIT.
Czy musimy to doporwadzic do postaci \(\displaystyle{ \frac{\arctan x}{x}}\) zeby to man dawalo 1?

Post autor: **Chromosom** » 24 lut 2010, o 19:56

zastosuj regułę L'Hospitala

BartekPlut · Post autor: **BartekPlut** » 24 lut 2010, o 20:12

czyli bedzie cos takiego:

\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{1+x ^{2} } -1 }{3x ^{2}-4x}}\)

Post autor: **Chromosom** » 24 lut 2010, o 23:07

Tak, teraz zrób z tego wyrażenia
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x^2}-1}\)
jeden ułamek, dalej prosto

BartekPlut · Post autor: **BartekPlut** » 25 lut 2010, o 18:59

Czyli powienien zrobic cos takiego?:

\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{1+x ^{2} } -1 }{3x ^{2}-4x}* \frac{3x ^{2}-4x}{1}}\)

iliczyc juz dalej granice?? Czy moze zle zrozumiałem?

Post autor: **Chromosom** » 25 lut 2010, o 19:33

Zrobić z wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{1}{1+x^2}-1}\) jeden ułamek, czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{1+x^2}-\frac{1+x^2}{1+x^2}=\frac{x^2}{x^2+1}}\)
stąd wychodzi
\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{x^2}{\left(1+x^2\right)\left(3x^2-4x\right)}}\)

BartekPlut · Post autor: **BartekPlut** » 25 lut 2010, o 20:04

Wiec super mamy taka postac jak wyzej. Pozbyłem się \(\displaystyle{ x^{2}}\) z licznika i mam granice w takiej postaci i doprowadzam ja do rozwiazania czy to jest poprawnie zrobione teraz?

\(\displaystyle{ \lim_{ \to0} \frac{1}{ (\frac{1}{x^{2}}+1)(3x^{2}-4x) } = \frac{1}{0} = 0}\)

Post autor: **Chromosom** » 25 lut 2010, o 20:06

czemu nagle Ci zniknęło x przy 4 w prawym nawiasie w mianowniku? ostateczny wynik dobrze Ci wyszedł, ale nie rozumiem, skąd wzięło się \(\displaystyle{ \frac{1}{0}}\)?

BartekPlut · Post autor: **BartekPlut** » 25 lut 2010, o 20:32

Ten x gdzies mi umknał przy pisaniu juz porapwiłem. Skad mi sie wzieło \(\displaystyle{ \frac{1}{0}}\)? wydawało mi się że jeżeli w mianowniku z x podstawimy 0 to daje nam to zero. Ale nie byłem tego pewien stad moje pytanie czy aby do konca wszystko zrozumiałem.

Post autor: **Chromosom** » 25 lut 2010, o 21:30

Nie bardzo, masz tam wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{1}{x^2}}\), to przy \(\displaystyle{ x\to0}\) dąży do \(\displaystyle{ \infty}\). Zresztą zobacz, jak można to prościej zrobić:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{x^2}{\left(1+x^2\right)\left(3x^2-4x\right)}=\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x\left(1+x^2\right)\left(3x-4\right)}=\lim_{x\to0}\frac{x}{\left(1+x^2\right)\left(3x-4\right)}}\)
teraz już na pewno sobie poradzisz:)