Oblicz sumę

[Wilkołak]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2}{7^n}}\)

Wiem, że trzeba użyć do tego szeregów funkcyjnych, wiem, że dwa razy trzeba skorzystać z twierdzenia o różniczkowaniu szeregu wyraz po wyrazie.

[BettyBoo]

Wykorzystaj zbieżny szereg geometryczny o znanej sumie, który ma związek z Twoim zadaniem, tzn

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{x}{7}\right)^n=\frac{\frac{x}{7}}{1-\frac{x}{7}}}\).

Uprość funkcję po prawej, zróżniczkuj tą równość dwukrotnie i zobacz, co otrzymałeś.

Pozdrawiam.

[Wilkołak]

Widzę co otrzymałem i co z tego? Lewa strona jakoś się ma do tego co chcę mieć, ale nie do końca.

\(\displaystyle{ \left( \left( \frac{x}{7} \right)^n \right)^{''} = \frac{n(n-1)x^{n-2}}{7^n}}\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{\frac{x}{7}}{1-\frac{x}{7}} \right)^{''} = \left( \frac{x}{7-x} \right)^{''} =
\frac{14}{(7-x)^3}}\)

[Zordon]

przemnóż stronami przez \(\displaystyle{ x^2}\), już będzie prawie dobrze, tzn po lewej:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{n(n-1)x^n}{7^n}= \sum_{}^{} \frac{n^2x^n}{7^n}- \sum_{}^{}\frac{nx^n}^{7^n}}\)
wystarczy więc obliczyć sumę \(\displaystyle{ \sum_{}^{}\frac{nx^n}^{7^n}}\) (metoda taka sama).

[Wilkołak]

Świetnie