Ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) określony jest rekurencyjnie w następujący sposób:
\(\displaystyle{ a_{1}=3}\) i \(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{a_{n}}{a_{n}+1}}\), dla n ≥ 1. Wyznacz wzór ogólny tego ciągu.
Ma ktoś pomysł?
Wyznacz wzór ogólny ciągu
-
devilxx
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 7 lut 2006, o 19:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Małogoszcz
- Podziękował: 3 razy
Wyznacz wzór ogólny ciągu
no tak, jakoś do tego doszedłem, ale nie ma żadnej metody na to? "na farta" trzeba?
-
Sir George
- Użytkownik
- Posty: 1125
- Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z Konopii
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 203 razy
Wyznacz wzór ogólny ciągu
Witam,
można też tak:
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+1}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{\ \frac{a_{n-1}}{a_{n-1}+1}\ }{\ \ \frac{a_{n-1}}{a_{n-1}+1}+1\ \ } =\frac{a_{n-1}}{2a_{n-1}+1}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{\ \frac{a_{n-2}}{a_{n-2}+1}\ }{\ \ 2\frac{a_{n-2}}{a_{n-2}+1}+1\ \ } =\frac{a_{n-2}}{3a_{n-2}+1}=}\)
\(\displaystyle{ \dots=\frac{a_{1}}{n a_{1}+1}.}\)
Resztę chyba już łatwo dopracować...
Pozdrawiam!
można też tak:
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+1}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{\ \frac{a_{n-1}}{a_{n-1}+1}\ }{\ \ \frac{a_{n-1}}{a_{n-1}+1}+1\ \ } =\frac{a_{n-1}}{2a_{n-1}+1}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{\ \frac{a_{n-2}}{a_{n-2}+1}\ }{\ \ 2\frac{a_{n-2}}{a_{n-2}+1}+1\ \ } =\frac{a_{n-2}}{3a_{n-2}+1}=}\)
\(\displaystyle{ \dots=\frac{a_{1}}{n a_{1}+1}.}\)
Resztę chyba już łatwo dopracować...
Pozdrawiam!