[Równania funkcyjne] Równanie funkcyjne IMO 1999

[Django]

Rozwiązałem równanie funkcyjne z IMO 1999, chciałbym jednak się upewnić czy moje rozwiązanie jest poprawne.

Znaleźć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R}\) takie, że dla dowolnych rzeczywistych x,y jest spełniona równość:
\(\displaystyle{ f(x-f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) - 1}\)

Ukryta treść:    

Podstawmy \(\displaystyle{ f(y):=x}\), mamy: \(\displaystyle{ f(0) = f(x) + x^2 + f(x) - 1}\). Oznaczmy \(\displaystyle{ f(0)= a}\). Dalej, dostajemy \(\displaystyle{ f(x) = \frac{a+1-x^2}{2} (1)}\). Podstawmy teraz \(\displaystyle{ x:=0, y:=0}\) Dostajemy \(\displaystyle{ f(-a)=f(a) + a -1}\), co w połączeniu z \(\displaystyle{ (1)}\) daje nam:
\(\displaystyle{ \frac{a+1-a^2}{2} = \frac{a+1-a^2}{2} + a-1}\), skąd dostajemy a = 1. Czyli, wzór naszej funkcji to \(\displaystyle{ f(x) = 1 - \frac{x^2}{2}}\). Jednak, podstawiając do równości w treści dostajemy sprzeczność, co dowodzi temu, że nie istnieją funkcje spełniające warunki zadania.

[KPR]

Na początku trzeba założyć, że x należy do zbioru wartości.

[danioto]

Ja mam pytanie: Czy możemy podstawić sobie, że \(\displaystyle{ f(y):=x}\)? Czy to nie jest przypadkiem pewna strata ogólności i to całkiem spora?

[patry93]

Odpowiedź masz post wyżej - możemy, jeśli założyć, że x należy do zbioru wartości

[Zordon]

bez dodatkowych założeń podstawiamy tylko i wyłącznie pod zmienne