Pochodne funkji elementarnuch

[bisz]

Wybaczcie, ale do końca nie wiedziałem w jaki dział dać ten temat, moje pytanie brzmi, jak panowie wyliczyli postać pochodnej dla tych funkcji w temacie ? bo o ile z sinusem i cosinusem sprawa jest względnie prosta o tyle tutaj pojęcia nie mam =) i druga sprawa
Jak ktoś kto tworzył podstawy matmy w dziale pochodnych wpadł na wzór ogólny \(\displaystyle{ (x^n)' = nx^{(n-1)}}\) bo głowiłem się na lekcji ostro i nie wymyśliłem nic poza tym, ze wzór działa

[g]

niech y=f(x) bedzie odwracalna. mamy wtedy ze dla pewnej funkcji g zachodzi g(y) = x. jak f jest rozniczkowalna to i g jest oczywiscie rozniczkowalna. zrozniczkujemy sobie teraz obustronnie po y. mamy dg(y)/dy = dx/dy czyli dy/dx = 1/g'(y)
na jednym przykladzie moge pokazac bo mam dobry dzien. f(x)=arctan(x) = y
g(y) = tan(y)
df/dx = 1/[(tan(y))'] = 1/(1+tan^2(y)) = 1/(1+x^2)

a co do x^n - podstawiasz do definicji, rozbijasz (x+h)^n ze wzoru dwumianowego Newtona i masz.

[bolo]

Temat zapewne nieaktualny, ale jeśli autora interesuje jeszcze obliczenie wprost z definicji (oprócz zaprezentowanego przez g twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej) to mam taką propozycję:

\(\displaystyle{ \left(\arcsin x\right)'=\\=
\lim\limits_{h\to 0}\frac{\arcsin\left(x+h\right)-\arcsin x}{h}=\\=
\lim\limits_{h\to 0}\frac{\arcsin\left(\left(x+h\right)\sqrt{1-x^{2}}-x\sqrt{1-\left(x+h\right)^{2}}\right)}{h}=\\=
\lim\limits_{h\to0}\left(\frac{\arcsin\left(\left(x+h\right)\sqrt{1-x^{2}}-x\sqrt{1-\left(x+h\right)^{2}}\right)}{\left(\left(x+h\right)\sqrt{1-x^{2}}-x\sqrt{1-\left(x+h\right)^{2}}\right)}\frac{\left(\left(x+h\right)\sqrt{1-x^{2}}-x\sqrt{1-\left(x+h\right)^{2}}\right)}{h}\right)=\\=
\lim\limits_{h\to0}\left(\frac{\arcsin\left(\left(x+h\right)\sqrt{1-x^{2}}-x\sqrt{1-\left(x+h\right)^{2}}\right)}{\left(\left(x+h\right)\sqrt{1-x^{2}}-x\sqrt{1-\left(x+h\right)^{2}}\right)}\frac{\left(\left(x+h\right)^{2}\left(1-x^{2}\right)-x^{2}\left(1-\left(x+h\right)^{2}\right)\right)}{\left(\left(x+h\right)\sqrt{1-x^{2}}+x\sqrt{1-\left(x+h\right)^{2}}\right)h}\right)=\\=
\lim\limits_{h\to0}\left(\frac{\arcsin\left(\left(x+h\right)\sqrt{1-x^{2}}-x\sqrt{1-\left(x+h\right)^{2}}\right)}{\left(\left(x+h\right)\sqrt{1-x^{2}}-x\sqrt{1-\left(x+h\right)^{2}}\right)}\frac{x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}-2x^{3}h-x^{2}h^{2}-x^{2}+x^{4}+2x^{3}h+x^{2}h^{2}}{\left(\left(x+h\right)\sqrt{1-x^{2}}+x\sqrt{1-\left(x+h\right)^{2}}\right)h}\right)=\\=
\lim\limits_{h\to0}\left(\frac{\arcsin\left(\left(x+h\right)\sqrt{1-x^{2}}-x\sqrt{1-\left(x+h\right)^{2}}\right)}{\left(\left(x+h\right)\sqrt{1-x^{2}}-x\sqrt{1-\left(x+h\right)^{2}}\right)}\frac{\left(2x+h\right)h}{\left(\left(x+h\right)\sqrt{1-x^{2}}+x\sqrt{1-\left(x+h\right)^{2}}\right)h}\right)=\\=1\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}}\)

[Justynaa]

Powiedzcie mi, bo trochę nie rozumiem pierwszego kroku, rozumiem że to wzór, ale czemu tam potem jest \(\displaystyle{ (x+h) \sqrt{1- x^{2} }}\)... (...)

A potem w ostatnim, czemu tam jest \(\displaystyle{ 1* \frac{1}{ \sqrt{1- x^{2} } }}\) ?
1, bo traktuje arcsinx jako granicę specjalną?

[Szemek]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1}\)

[Justynaa]

No to tak jak myślałam, ale ten pierwszy krok może mi ktoś jest w stanie wytłumaczyć ?