Ekstrema dwóch zmienych

Kabas · Post autor: **Kabas** » 19 lut 2010, o 20:42

Jak takie coś się liczy?

\(\displaystyle{ f(x,y) = x^{3}+y^{3}-3}\)

osa · Post autor: **osa** » 19 lut 2010, o 20:47

musisz policzyć pochodne cząstkowe po x i po y. Potem obie mają być równe 0, więc wychodzi ci układ równań. Policzę ci po x żebyś zrozumiał. po y policz sam przy liczeniu pochodnej cząstkowej po jednej zmiennej inne zmienne traktujesz jako stałe (tak samo działa dla dowolnej liczby zmiennych)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} = 3x ^{2} +y^{3} -3}\)

inna sprawa że jak już policzysz również tę drugą i dostaniesz układ równań to możesz mieć deczko problem z jego rozwiązaniem, ale akurat ten nie powinien stanowić problemu

Kabas · Post autor: **Kabas** » 19 lut 2010, o 20:52

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y} = 3y ^{2} +x^{3} -3}\)

I teraz te dwa równania = 0 i wyliczyć x i y

spoko:D LIczę

Jakaś podpowiedź jak ten układ policzyć?

makan · Post autor: **makan** » 19 lut 2010, o 21:36

Pochodne cząstkowe są źle policzone, pamiętaj, że licząc po x traktujesz y jak stałą a licząc po y to x jest stałą.

osa · Post autor: **osa** » 19 lut 2010, o 21:39

hmm.

proponuje policzyć "po chamsku" x z jednego równania i wstawić do drugiego, a potem skrócić tyle ile sie da. Wyjdzie potęga niecałkowita, ale to nie problem. Pewnie i tak dostaniesz x=1 albo x=-1

Kabas · Post autor: **Kabas** » 19 lut 2010, o 21:40

Czyli, że bez tych \(\displaystyle{ -3}\) na końcu?

osa · Post autor: **osa** » 19 lut 2010, o 21:41

oczywiście że były źle policzone. bardzo przepraszam. Zmęczenie po 1. dniu olimpiady maematycznej i stres przed drugim . Wychodzi banalnie prosto, bo pochodna stałej jest równa 0, czyli

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} = 3x ^{2}}\)

Kabas · Post autor: **Kabas** » 19 lut 2010, o 21:44

Czyli ekstremium (0,0)
Dzięki

osa · Post autor: **osa** » 19 lut 2010, o 21:48

Proszę
przepraszam bardzo że wcześniej źle napisałem. patrz wyżej.

trudniejsze układy równań (ale rozwiązywalne) wychodzą z funkcji zawierających wyrazy mieszane. np

\(\displaystyle{ f(x)=x^{2}+y^{4}+x^{3}y^{2}}\)

proponuje policz dla wprawy

Kabas · Post autor: **Kabas** » 19 lut 2010, o 21:54

Czy w Twoim równaniu też wychodzi (0,0)?

osa · Post autor: **osa** » 19 lut 2010, o 22:05

Tak, niewątpliwie, ale to jest układ równań wielomianowych, więc niekoniecznie musi być 1 rozwiązanie. Niestety to jest dosyć nieprzyjemne liczenie ale czasem trzeba. Jeżeli chodzi o ten konkretny przykład to zauważ, że z pochodnej po x dostajesz \(\displaystyle{ x=0 \vee 2+3y^{2}x=0}\)
potem możesz sobie z tego drugiego wyliczyć x i wstawić do drugiego powiem szczerze że nie jestem najlepszy w tych rzeczach. Ten przykład walnąłem od czapy nie myśląc o tym co wyjdzie. Tego to nie rozwiązuj, tak napisałem, żebyś wiedział jakie przypadki mogą być trochę trudniejsze.
Jak będziesz miał tego typu problem to wal w odpowiednim dziale do układów równań wielomianowych

A tak btw. Jak podoba ci sie to różniczkowanie po 2 zmiennych to absolutnie genialny przykład był na 1 etapie olimpiady fizycznej w tym roku. seria 2. zadanie z rakietą część b. Polecam jak coś to pisz priva postaram sie pomóc, jeżeli nie uda ci się zrobić części fizycznej która jest konieczna do przejścia do różniczkowania. tam masz różniczkowanie po 2 zmiennych. po czasie i po kącie.

makan · Post autor: **makan** » 19 lut 2010, o 22:16

Kabas pisze:Czyli ekstremium (0,0)
Dzięki

Nie od razu, to na razie punkt stacjonarny, trzeba sprawdzić jaki znak w tym punkcie ma hesjan.