\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2^{n}(n!)^{2}}{n^{2n}}}\)
Sprawdzam warunek konieczny zbieżności.
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{2^{n}(n!)^{2}}{n^{2n}}}\)
Stosuje twierdzenie o trzech ciągach:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n^{2n}} \le \frac{2^{n}(n!)^{2}}{n^{2n}} \le 2^{n}(n!)^{2}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n^{2n}} = 0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } 2^{n}(n!)^{2} = \infty}\)
Więc na tej podstawie wnioskuje że granica \(\displaystyle{ \frac{2^{n}(n!)^{2}}{n^{2n}}}\) jest różna od zera więc szereg jest rozbieżny.
Nie wiem czy aby na pewno to jest dobrze.
WolframAlpha nie pokazuje w przypadku tego szeregu czy jest zbieżny czy nie.
Polecenie do wpisania w wolframie:
Kod: Zaznacz cały
sum (2^n (n!)^2)/(n^(2n)), n=1 to infinity
przecież WolframAlpha w tym przypadku pokazuje nawet przybliżoną sumę tego szeregu...