ciąg geometryczny - kilka zadań

[solarq]

1. Trzy liczby dodatnie a, b, c tworzą ciąg geometryczny. Suma tych wyrazów jest równa 26, a suma ich odwrotności wynosi 0,7(2). Znajdz te liczby.

2. Dla jakich wartości x liczby \(\displaystyle{ 1+log_{2}3, log_{x}36, \frac{4}{3}log_{8}6}\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego?

3. Wyznacz wszystkie ciągi geometryczne, w których każdy wyraz poczynając od trzeciego jest równy połowie sumy dwóch poprzednich.

4. Znajdz wzór na sumę \(\displaystyle{ S_{n}(x)=1+2x+3x^{2}=4x^{3}+...+nx^{n-1}}\).

5. Liczby \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}... a_{n}}\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o dodatnich wyrazach. Znając sumy: \(\displaystyle{ S=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}\) oraz \(\displaystyle{ T=\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+...+\frac{1}{a_{n}}}\), oblicz iloczyn \(\displaystyle{ I=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}}\).

6. Trzy liczby, których suma jest równa 93, tworzą ciąg geometryczny. Te same liczby stanowią pierwszy, drugi i siódmy wyraz ciągu arytmetycznego. Wyznacz te liczby.

7. Dla jakich wartości x i y liczby \(\displaystyle{ x+y, x^{2}, y+2}\) są trzema kolejnymi wyrazami zarówno ciagu arytmetycznego jak i geometrycznego?

[Tristan]

7. Z własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego układamy układ:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}(x+y)(+(y+2)=2x^2\\(x+y)(y+2)=x^4 \end{array}}\), z którego wyliczamy, że
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}x=2 \\ y=2 \end{arra}}\)

[ariadna]

1)
\(\displaystyle{ 0,7(2)=\frac{13}{18}}\)
Liczby: \(\displaystyle{ a, aq, aq^{2}}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ a+aq+aq^{2}=26}\)
oraz, że \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{aq}+\frac{1}{aq^{2}}=\frac{13}{18}}\)
Z drugiego: \(\displaystyle{ \frac{1+q+q^{2}}{aq^{2}}=\frac{13}{18}}\) wyznacz licznik i wstaw do takiej postaci pierwszego \(\displaystyle{ a(1+q+q^{2})=26}\)
Dalej dasz radę.

[Tristan]

6. \(\displaystyle{ (a,a+r, a+6r)}\) - trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego
Z własności ciągu geometrycznego mamy, że:
\(\displaystyle{ (a+r)^2=a(a+6r)}\)
\(\displaystyle{ a^2+2ar+r^2=a^2+6ar}\)
\(\displaystyle{ r^2=4ar}\), r musi być różne od zera, więc możemy obustronnie przez to r podzielić
\(\displaystyle{ r=4a}\)
Z zadania wiemy, że \(\displaystyle{ a+a+r+a+6r=93}\), czyli \(\displaystyle{ 3a+7r=93}\). Wstawiając \(\displaystyle{ r=4a}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ 31a=93}\), więc \(\displaystyle{ a=3}\) i \(\displaystyle{ r=12}\). Wyliczamy, że szukane liczby to \(\displaystyle{ 3,15,75}\).

[ariadna]

2) \(\displaystyle{ x\in (0,1)\cup(1, +\infty)}\)
\(\displaystyle{ (log_{x}36)^{2}=(1+log_{2}3)(\frac{4}{3}log_{8}6)}\)
Wymnóż, przyrównaj i masz.
\(\displaystyle{ x=8}\)

[Tomasz Rużycki]

3.

\(\displaystyle{ a_{n+2} = \frac{a_{n+1}+a_n}{2}}\), czyli

\(\displaystyle{ 2aq^{n+1} = aq^n + aq^{n-1}}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) to pierwszy wyraz.

Widac, ze \(\displaystyle{ a=0\vee 2q^2 - q - 1 = (2q+1)(q-1) = 0}\).


4.

\(\displaystyle{ S = 1+2x+\ldots + nx^{n-1}}\), wiec
\(\displaystyle{ Sx =x+2x^2+\ldots + nx^n}\), czyli
\(\displaystyle{ S-Sx=1+x+x^2+\ldots + x^{n-1} - x^n = \frac{x^n-1}{x-1} - x^n}\), porob
sobie zalozenia, dopracuj szczegoly.


5.

Robilem niedawno na forum, poszukaj.

[marcinn12]

Tristan mam pytanie.

r musi być różne od zera, więc możemy obustronnie przez to r podzielić

Czy może zajść taka sytuacja że r=0 i wtedy ciąg jest stały? Jak to jest?
Tobie chodziło o to, ze nie można dzielić przez zero dlatego r jest różny od zera? A co w przypadu gdy r