Rozwijanie w szereg Laurenta w zadanym pierścieniu

Picek · Post autor: **Picek** » 17 lut 2010, o 13:36

Mam takie zadanie, żeby znaleźć rozwinięcie w szereg Laurenta funkcji:
\(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{z^{2}+4}}\)
można to też zapisać jako:
\(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{(z+2i)(z-2i)}}\)
Pierścień:
0<|z+2i|<4

Chciałem zrobić w ten sposób:
Dla z€P mamy \(\displaystyle{ \left|\frac{z+2i}{4}\right|<1}\)
i przekształcić tak ułamek \(\displaystyle{ \frac{1}{z-2i}}\) aby był sumą szeregu geometrycznego o ilorazie, którego moduł jest równy \(\displaystyle{ \left|\frac{z+2i}{4}\right|}\)

Zacząłem tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{z-2i} = \frac{1}{2i} \frac{1}{\frac{z}{2i}-1} = -\frac{1}{2i} \frac{1}{1-\frac{z}{2i}}}\) ale nie mam pojęcia jak to dalej przekształcić, żeby w ilorazie prawego pierwiastka zamiast \(\displaystyle{ \frac{1}{1-\frac{z}{2i}}}\) było \(\displaystyle{ \frac{1}{1-\frac{z+2i}{4}}}\)
Później trochę inaczej kombinowałem:
\(\displaystyle{ \frac{1}{z-2i} = \frac{1}{z+2i-4i} = \frac{1}{4} \frac{1}{\frac{z+2i}{4}-i} = - \frac{1}{4i} \frac{1}{1-\frac{z+2i}{4i}}}\) ale teraz mi to i bruździ.

Dobra, nie tym to innym sposobem, spróbowałem więc rozbicia na dwa pierwiastki ale też stanąłem i nie wiem jak się dalej zabrać. Chciałem funkcję rozbić:
\(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{(z+2i)(z-2i)} = \frac{A}{(z+2i)} + \frac{B}{(z-2i)}}\) ale dochodzę do wzoru A(z-2i)+B(z+2i)=1 i nie mam pomysłu jak to pchnąć dalej.

Można jeszcze próbować tak:
\(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{(z+2i)(z-2i)} = \frac{\frac{1}{(z+2i)}}{(z-2i)} + \frac{\frac{1}{(z-2i)}}{(z+2i)}}\) tylko sam nie wiem co mi to daje...

Męczę się nad tym i szczerze to mam pustkę

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 17 lut 2010, o 13:45

\(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{(z+2i)(z-2i)}=f(z)= \frac{1}{(z+2i) } \cdot \frac{1}{ (z-2i)}}\)
I teraz rozwijaj ten drugi fragment (ten po prawej w mnozeniu)

Picek · Post autor: **Picek** » 17 lut 2010, o 13:55

no właśnie... tylko jak? Bo próbuję jak wyżej napisałem to rozwijać tylko nie wiem, co dalej robić (i czy poprawnie się do tego zabieram? )

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 17 lut 2010, o 13:57

\(\displaystyle{ \frac{1}{ (z-2i)}=\frac{1}{ -4i + (z+2i )}=\frac{1}{ -4i ( 1+ \frac{(z+2i )}{-4i}) }}\)

Picek · Post autor: **Picek** » 17 lut 2010, o 14:03

Dzięki za wskazówki ale chyba nie umiem z nich skorzystać, muszę to przemyśleć...
Zauważ, że w 1 poście doszedłem do tego samego. Tylko nie wiem co zrobić z tym 4i w prawym dolnym mianowniku skoro mi trzeba samo 4 (patrz warunek: \(\displaystyle{ \left|\frac{z+2i}{4}\right|<1}\) )...

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 17 lut 2010, o 14:12

\(\displaystyle{ \left|\frac{z+2i}{4i}\right|<1 \Leftrightarrow \left|z+2i \right| < \left|4i \right|}\)
tak winno byc

Picek · Post autor: **Picek** » 17 lut 2010, o 14:20

racja! Dzięki

czyli ciąg dalszy jest taki:
\(\displaystyle{ \frac{1}{-4i} \sum_{n=0}^{ \infty } \left( \frac{z+2i}{4i} \right)^{n}}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 17 lut 2010, o 14:21

No tak. Tylko nie zapomnij czy na poczatku zostawilismy jeden skladnik ( moj pierwszy post ). To dopiszesz i bedzie ok

Picek · Post autor: **Picek** » 17 lut 2010, o 14:26

Czyli:
\(\displaystyle{ \frac{1}{-4i} \frac{1}{z+2i} \sum_{n=0}^{ \infty } \left( \frac{z+2i}{4i} \right)^{n}}\)
czy da się to sprzed sumy wciągnąć do szeregu? Czy to za łatwo zrobiłem i trzeba coś jeszcze robić?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 17 lut 2010, o 14:30

No wlasnie nalzy wciagnąc to co jest przed szeregiem pod szereg. I koniec

Picek · Post autor: **Picek** » 17 lut 2010, o 14:37

Czyli ostatecznie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{-4i} \frac{1}{z+2i} \sum_{n=0}^{ \infty } \left( \frac{z+2i}{4i} \right)^{n} = \frac{1}{-4i} \frac{1}{z+2i} \frac{z+2i}{4i} \sum_{n=2}^{ \infty } \left( \frac{z+2i}{4i} \right)^{n} =(k=n+2)= \frac{1}{16} \sum_{k=0}^{ \infty } \left( \frac{z+2i}{4i} \right)^{k}}\)
Nie jestem pewien tego co napisałem więc jeszcze proszę o spojrzenie i potwierdzenie, czy to jest ok

Nie jestem pewien, bo nie wiem, co się dzieje z wyrazem n=0 tego szeregu i czy nie powinno być tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{-4i} \frac{1}{z+2i} \sum_{n=0}^{ \infty } \left( \frac{z+2i}{4i} \right)^{n} = \frac{1}{-4i} \frac{1}{z+2i} \frac{z+2i}{4i} \sum_{n=2}^{ \infty } \left( \frac{z+2i}{4i} \right)^{n} =(k=n+2)=\frac{1}{16}+ \frac{1}{16} \sum_{k=0}^{ \infty } \left( \frac{z+2i}{4i} \right)^{k}}\)