zamiana zmiennych całka podwójna

[gigi2b]

Stosując zamianę zmiennych w całce podwójnej, obliczyć pole obszaru ograniczone liniami
\(\displaystyle{ y=2x}\);
\(\displaystyle{ y=2x+2}\);
\(\displaystyle{ y=-x+3}\);
\(\displaystyle{ y=-x+4}\);

[EnsamVarg]

Obie pary prostych stanowiacych przeciwlegle boki czworokata naleza odpowiednio do
dwoch jednoparametrycznych rodzin prostych zapelniajacych plaszczyzne. Przyjmiemy wiec te
dwie rodziny za siatke wspolrzednych.
\(\displaystyle{ y=2x+\xi \newline y=-x+\eta,\newline \xi\in[0,2],\; \eta\in[3,4]}\)

Z tych rownan otrzymujemy

\(\displaystyle{ x=\frac{\eta -\xi}{3},\; y=\frac{\xi -4\eta}{3}}\)
Obliczmy jakobian \(\displaystyle{ J(=\frac{1}{3})}\) tego odwzorowania i mamy pole figury D:

\(\displaystyle{ |D|=\iint_D \,dx\,dy=\iint_{D'}|J|d\xi d\eta= \frac{1}{3}\int_ 0^2\,d\xi\int_3^4\,d\eta=\frac{2}{3}}\)

ps Moze tu jest jakis blad w rachunach - noc i bylo liczone predko...