Równania i nierówności logarytmiczne

[petro]

a)
\(\displaystyle{ log_{8}(3x-1)^{3}-log_{4}(x+1)^{4}+log_{2}(x-1)=0}\)

b)
\(\displaystyle{ log_{x} \frac{2x-1}{x-1}>1}\)

c)
\(\displaystyle{ log_{2}^{2}8x-log_{2}^{2}4x+log_{2}^{2}2x\geq log_{2}64}\)

d)
\(\displaystyle{ 1-log_{5}(5^{x}-4)\geq x}\)

e)
\(\displaystyle{ \frac{2}{1+logx}+\frac{1}{logx}>2}\)

g)
\(\displaystyle{ \frac{|log(x+1)|}{x^{2}-1}\leq log(x+1)^{2}}\)

h)
\(\displaystyle{ x^{0.25(7+log_{2}x)}\geq 2^{1+log_{2}x}}\)

[darekrby]

te wszystkie rowniania i nierownosci sa elementarne... wiec proponuje zebys zajrzal do kompedium wiedzy na tej stronie lub do jakiegos podrecznika czy tez tablic zapoznal sie z definicja logarytmow i dzialaniamy.... samo rozwiazanie tobie nic nie da

[ariadna]

a) Założenia chyba umiesz zrobić.
Dalej:
\(\displaystyle{ log_{8}(3x-1)^{3}-log_{4}(x+1)^{4}+log_{2}(x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ log_{2^{3}}(3x-1)^{3}-log_{2^{2}}(x+1)^{4}+log_{2}(x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ log_{2}(3x-1)-2log_{2}(x+1)+log_{2}(x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ log_{2}(3x-1)-log_{2}(x+1)^{2}+log_{2}(x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ log_{2}\frac{(3x-1)(x-1)}{(x+1)^{2}}=0}\)...

[petro]

Oj właśnie bardzo dużo da... właśności i definicje logarytmów znam, każde z tych zadań potrafię zacząć, ale w trakcie jakieś pierdółki mi wychodzą i się poddaje.

Jak zobacze rozwiązanie... to już jak ktoś zada mi podobne zadanie umie je rozwiązać... dlatego szukam pomocy na tym forum

Pozdrawiam i prosze o pomoc

[darekrby]

h jest ciekwsze zeby rozwiazac to zad wykorzystaj wzor: \(\displaystyle{ a^{log_{a}{b}=b}\)

[Tristan]

b) oczywiście zał: \(\displaystyle{ x \in (0; \frac{1}{2}) \cup(1; \infty)}\). Skoro znasz własności to zrozumiesz:
\(\displaystyle{ \log_{x} \frac{2x-1}{x-1} >1}\)
\(\displaystyle{ \log_{x} \frac{2x-1}{x-1}> \log_{x} x}\), opuszczając logarytmy musimy rozpatrzyć dwa przypadki.
1. \(\displaystyle{ x (0; \frac{1}{2})}\)
\(\displaystyle{ \frac{2x-1}{x-1}x}\) i również sobie poradzisz, bo nie ma już logarytmów, tylko zwykłe nierówności wymierne.

c) Skorzystam tutaj z wzoru \(\displaystyle{ a^2-b^2=(a-b)(a+b)}\)
\(\displaystyle{ \log_{2}^2 8x - \log_{2}^2 4x + \log_{2}^2 2x \geq \log_{2} 64}\)
\(\displaystyle{ ( \log_{2} 8x - \log_{2} 4x)( \log_{2} 8x+ \log_{2} 4x) + \log_{2}^2 2x \geq 6}\)
\(\displaystyle{ ( \log_{2} \frac{8x}{4x} )(\log_{2} 8x \cdot 4x) + \log_{2}^2 2x \geq 6}\)
\(\displaystyle{ \log_{2} 2 \cdot \log_{2}(2 \cdot (4x)^2 ) + \log_{2}^2 2x \geq 6}\)
\(\displaystyle{ 1 \cdot ( \log_{2} 2 + \log_{2} (4x)^2 ) + \log_{2}^2 2x \geq 6}\)
\(\displaystyle{ 1+2 \log_{2} 4x+ \log_{2}^2 2x \geq 6}\)
\(\displaystyle{ 2 \log_{2} (2 \cdot 2x) + \log_{2}^2 2x \geq 5}\)
\(\displaystyle{ 2+ 2 \log_{2} 2x+ \log_{2}^2 2x \geq 5}\)
\(\displaystyle{ \log_{2}^2 2x + 2 \log_{2} 2x -3 \geq 0}\), zał: \(\displaystyle{ \log_{2} x=t}\)
\(\displaystyle{ t^2+2t-3 \geq 0}\)
\(\displaystyle{ t^2-t+3t-3 \geq 0}\)
\(\displaystyle{ t(t-1)+3(t-1) \geq 0}\)
\(\displaystyle{ (t-1)(t+3) \geq 0}\)
\(\displaystyle{ t \leq -3 \vee t \geq 1}\)
\(\displaystyle{ \log_{2} 2x \leq \log_{2} \frac{1}{8} \vee \log_{2} 2x \geq \log_{2} 2}\)
\(\displaystyle{ 2x \leq \frac{1}{8} \vee 2x \geq 2}\) , czyli rozwiązanie razem z założeniem, to
\(\displaystyle{ x \in ( 0; \frac{1}{16}> \cup 4}\), czyli \(\displaystyle{ 5^x >5^{\log_{5} 4}}\), z czego mamy \(\displaystyle{ x> \log_{5} 4}\)
\(\displaystyle{ 1- \log_{5} (5^x -4) q x}\)
\(\displaystyle{ 1 - \log_{5} (5^x -4) q \log_{5} 5^x}\)
\(\displaystyle{ 1 q \log_{5} 5^x + \log_{5} (5^x -4)}\)
\(\displaystyle{ \log_{5} 5 q \log_{5} [ 5^x (5^x -4)]}\)
\(\displaystyle{ 5 q 5^{2x} - 4 5^x}\), zał: \(\displaystyle{ 5^x=t, t }\)