całki przez części

[erich]

1.\(\displaystyle{ \int \frac{(lnx) ^{2} }{ \sqrt{x} }}\)

2.\(\displaystyle{ \int \frac{ln(lnx)}{x}}\)

generalnie to doszedłem tylko do tego że podstawiłem odpowiednio a dalej to już właśnie zaczynają się schody bo nie wiem jak kontynuować. Ma ktoś jakiś pomysł?

pzdr!

[Dudas]

1) \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} u = ln^2(x); dv = \frac {1}{\sqrt{x}}dx\\u = \frac {2ln(x)}{x}dx ; v =2\sqrt{x} \right|\end{vmatrix}}\)
A później znowu przez części :
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} u=4ln(x); dv = \frac {1}{\sqrt{x}}dx\\du = \frac {4}{x}dx; v =2\sqrt{x}\end{vmatrix}}\)

2) Podstawienie \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} ln(x) = t\\\frac {1}{x}dx = dt\end{vmatrix}}\)

Później przez części : \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} u=ln(t); dv = 1\\du = \frac {dt}{t}; v =t\end{vmatrix}}\)

[Sarrus]

1.\(\displaystyle{ \int \frac{(lnx) ^{2} }{ \sqrt{x} }}\)

2.\(\displaystyle{ \int \frac{ln(lnx)}{x}}\)

generalnie to doszedłem tylko do tego że podstawiłem odpowiednio a dalej to już właśnie zaczynają się schody bo nie wiem jak kontynuować. Ma ktoś jakiś pomysł?

pzdr!

%

\(\displaystyle{ 2 \ ) \ \int \frac{ln(lnx)}{x}dx \ =}\)

\(\displaystyle{ lnx \ = \ t}\)

\(\displaystyle{ \frac{dx}{x} \ = \ dt}\)

\(\displaystyle{ = \ \int ln(t)dt \ =}\)

\(\displaystyle{ korzystam \ ze \ wzoru \ :}\)

\(\displaystyle{ \int udv \ = \ uv \ - \ \int vdu}\)

\(\displaystyle{ gdzie \ :}\)

\(\displaystyle{ u \ = \ ln(t) \ , \ dv \ = \ dt}\)

\(\displaystyle{ du \ = \ \frac{dt}{t} \ , v \ = \ t}\)

\(\displaystyle{ = \ tln(t) \ - \ \int \frac{dt}{t} \ = \ tln(t) \ - \ ln(t) \ + \ C \ = \ ln(t) \left( t \ - \ 1 \right) \ + \ C \ = \ ln(lnx) \left( lnx \ - \ 1 \right) \ + \ C}\)

%