Która z liczb jest większa?

Laki666 · Post autor: **Laki666** » 13 lut 2010, o 21:26

Która z liczb jest większa \(\displaystyle{ 2009^{2010}}\) czy \(\displaystyle{ 2010^{2009}}\) ???
W prosty sposób, jeżeli takowy istnieje.

Dziękuje i pozdrawiam Laki.
(Jeżeli już było takie zadanie na forum to przepraszam i prosze o linka)

mcbob · Post autor: **mcbob** » 13 lut 2010, o 21:49

Chyba najprościej tak:

\(\displaystyle{ a=2009 ^{2010}}\)
\(\displaystyle{ b=2010 ^{2009}}\)

\(\displaystyle{ \frac{b}{a} = \left( \frac{2010}{2009} \right) ^{2009} \cdot \frac{1}{2009} = \left(1+ \frac{1}{2009} \right) ^{2009} \cdot \frac{1}{2009} \approx \frac{e}{2009} < 1 \Rightarrow b < a}\)

Post autor: **Althorion** » 14 lut 2010, o 08:33

Moim zdaniem ładniej by było, gdybyś napisał:
\(\displaystyle{ \left(1+ \frac{1}{2009} \right) ^{2009} \cdot \frac{1}{2009} < \frac{e}{2009} < 1 \Rightarrow b < a}\)
Czepialstwo, ale można by było na tym stracić punkty - z Twojego przybliżenia nie wynika, że nie szacujesz z nadmiarem.

mcbob · Post autor: **mcbob** » 14 lut 2010, o 11:56

Masz rację i formalnie poprawniej wygląda twój zapis. Ale w swoim zapisie też nie widzę dużego błędu. Szacowanie to zapisanie liczby z jakąś dokładnością. Choćby z dokładnością do jedności. A więc nawet szacując z nadmiarem nasz ułamek zawsze będzie mniejszy od 1.