Monotonicznosć i najmniejsza wartość

micro · Post autor: **micro** » 12 lut 2010, o 21:06

\(\displaystyle{ an = |n ^{2}-90|-17}\)

a) udowodnij, ze ciag ten nie jest monotoniczny
b) znajdź najmniejszy wyraz ciągu

sanderus · Post autor: **sanderus** » 12 lut 2010, o 21:08

Po lewej stronie równania jest \(\displaystyle{ a \cdot n}\) (cokolwiek to znaczy) czy też \(\displaystyle{ a _{n}}\)?

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 12 lut 2010, o 21:10

a) oblicz \(\displaystyle{ a_8 \ , \ a_9 \ , \ a_10}\) Możesz jeszcze na dokładkę \(\displaystyle{ a_7}\) i \(\displaystyle{ a_11}\) jeśli będzie to mało wyraźne.

b) znajdź minimum wyrażenia \(\displaystyle{ n^2 - 90}\) (dla n naturalnych)

sanderus · Post autor: **sanderus** » 12 lut 2010, o 21:19

Inkwizytor, z tego co mi wiadomo, monotoniczność należy udowadniać na wzorach ogólnych z \(\displaystyle{ a_{n}, a_{n+1}}\) itp.

Lukasz_C747 · Post autor: **Lukasz_C747** » 12 lut 2010, o 21:20

sanderus: tylko, że tutaj dowodzimy braku monotoniczność, czyli kontrprzykład wystarczy.

sanderus · Post autor: **sanderus** » 12 lut 2010, o 21:26

Lukasz_C747, zauważ że wykresem ciągu są mogą być punkty składające się na wykres paraboli. Jeżeli wtedy, wyliczymy wartości ciągu dla 4 pierwszych wyrazów ciągu, ciąg może wydawać się monotoniczny, a w rzeczywistości taki nie będzie.

Lukasz_C747 · Post autor: **Lukasz_C747** » 12 lut 2010, o 21:39

Dowodzimy BRAKU monotoniczności, nie monotoniczności. Monotoniczność to cecha całego ciągu (i dowodzimy ją w ogólności, jak mówiłeś), więc jeśli znajdziemy wyrazy nie spełniające tej cechy, to ciąg nie może być monotoniczny. Biorąc twój przykład, jeśli weźmiemy punkty ciągu po lewej od wierzchołka paraboli, z wierzchołka i na prawo od wierzchołka to już widzimy, że ciąg nie jest monotoniczny, nie badając ciągu w ogólności.

sanderus · Post autor: **sanderus** » 12 lut 2010, o 21:51

A skąd będziesz wiedział czy bierzesz właściwe punkty? Tzn. czy nie wziąłeś punktów leżących na jednym ramieniu paraboli?

Oczywiście, w ciągu \(\displaystyle{ a _{n} = n ^{2}}\) metoda ta będzie dawała poprawne rozwiązanie, ale nie będzie to "wykazanie" i nadawać się będzie tylko do zadań testowych, gdyż z tego co mi wiadomo na maturze, takie rozwiązanie nie jest zaliczane.

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 14 lut 2010, o 09:44

sanderus pisze:A skąd będziesz wiedział czy bierzesz właściwe punkty? Tzn. czy nie wziąłeś punktów leżących na jednym ramieniu paraboli?

Oczywiście, w ciągu \(\displaystyle{ a _{n} = n ^{2}}\) metoda ta będzie dawała poprawne rozwiązanie, ale nie będzie to "wykazanie" i nadawać się będzie tylko do zadań testowych, gdyż z tego co mi wiadomo na maturze, takie rozwiązanie nie jest zaliczane.

1. Jeszcze raz przeczytaj moją wypowiedź.
2. Chyba nie rozumiesz na czym polega dowodzenie BRAKU monotoniczności.
3. Oszacowanie położenia wierzchołka paraboli nie stanowi tutaj problemu (a potem wróć do mojej wcześniejszej wypowiedzi).