Punkty przecięcia się dwóch okręgów.

[Unspoken]

Witam serdecznie.

Od paru dni próbuje znaleźć punkty przecięcia się dwóch okręgów.
Niestety, nie radze sobie z rozwiązaniem układu równań. Ile ja godzin poświęciłem, ile papieru zmarnowałem...

Oto dane zadania:

Okrąg pierwszy: \(\displaystyle{ x = 0}\), \(\displaystyle{ y = 0}\), \(\displaystyle{ r = 2}\)
Okrąg drugi: \(\displaystyle{ x = \sqrt{ \frac{5}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2} }}\), \(\displaystyle{ y = -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2}}\), \(\displaystyle{ r = \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}\)

Proszę o sprawdzenie gdzie popełniam błąd, tworze układ równań na podstawie danych:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} + y^{2} = 2^{2} \\
\left(x - \sqrt{ \frac{5}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2} } \right) ^{2} +
\left(y - \left(-\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2} \right) \right)^{2} = \left(\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} \right) ^{2}\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} *\\
x^{2}-2x\sqrt{ \frac{5}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2}}+ \frac{5}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2}+
\left(y + \left(\frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{5} }{2} \right) \right)^{2}= 10 - 2 \sqrt{5} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} *\\
x^{2}-2x\sqrt{ \frac{5}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2}}+ \frac{5}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2}+
y^{2} + 2y \left( \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{5}}{2} \right)+ \frac{1}{4}- \sqrt{5} + \frac{5}{4} = 10 - 2 \sqrt{5} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}=4- y^{2} \\
x^{2}-2x\sqrt{ \frac{5}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2}}+ \frac{5}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2}+
y^{2} + y - \sqrt{5}y + \frac{1}{4}- \sqrt{5} + \frac{5}{4} = 10 - 2 \sqrt{5} \end{cases}}\)

Teraz za \(\displaystyle{ x^{2}}\) w drugim równaniu podstawiam \(\displaystyle{ 4 - y^{2}}\) z pierwszego równania.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}=4- y^{2} \\
4- y^{2}-2 \sqrt{4- y^{2}} \sqrt{ \frac{5}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2}}+ \frac{5}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2}+
y^{2} + y - \sqrt{5}y + \frac{1}{4}- \sqrt{5} + \frac{5}{4} = 10 - 2 \sqrt{5} \end{cases}}\)

Teraz porządkuję składniki równania drugiego.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}=4- y^{2} \\
-2 \sqrt{4- y^{2}} \sqrt{ \frac{5}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2}} = 2 - \sqrt{5} -\frac{ \sqrt{5} }{2} - y + \sqrt{5}y\end{cases}}\)

Mam \(\displaystyle{ \sqrt{4- y^{2}}}\) a żeby równanie było w postaci kwadratowej to muszę się chyba pozbyć tego pierwiastka? Żeby to zrobić muszę podnieść obie strony równania do kwadratu, nie wiem czy dobrze to robie...

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}=4- y^{2} \\
- \sqrt{4- y^{2}} = \frac{2 -\frac{ 3\sqrt{5} }{2} - y + \sqrt{5}y}{2\sqrt{ \frac{5}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2}} }\end{cases}}\)

Nie mogę chyba podnieść każdego składnika osobno?:) Wiec przekształcam licznik z prawej strony równania tak aby można go było podnieść do kwadratu. No ale może źle to robie....?

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}=4- y^{2} \\
- \sqrt{4- y^{2}} = \frac{\frac{1}{2} \left(4 - 3\sqrt{5}\right) - y \left(1 - \sqrt{5}\right) }{2\sqrt{ \frac{5}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2}} }\end{cases}}\)

Dobra, chyba mam postać, którą wiem jak spotęgować. Potęguje to co myśle, że wiem jak spotęgować i dokonuje dwóch podstawień.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}=4- y^{2} \\
4- y^{2} = \frac{ \left(a - b \right)^{2} }{4 \left(\frac{5}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2} \right) }\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}=4- y^{2} \\
4- y^{2} = \frac{a^{2} -2ab + b^{2} }{10 + 2 \sqrt{5}}\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}=4- y^{2} \\
\left(4- y^{2}\right)\left({10 + 2 \sqrt{5}} \right) = a^{2} -2ab + b^{2} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}=4- y^{2} \\
40 + 8 \sqrt{5} -10y ^{2}-2 \sqrt{5}y^{2} = a^{2} -2ab + b^{2} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ a^{2} = \left(\frac{1}{2} \left(4 - 3\sqrt{5}\right) \right) ^{2} = \frac{1}{2} ^{2} \left(4 - 3\sqrt{5}\right) ^{2} = \frac{1}{4} \left(16 -24 \sqrt{5} + 45 \right) = 4 - 6 \sqrt{5} + \frac{45}{4}}\)

\(\displaystyle{ 2ab = 2 \left(\frac{1}{2} \left(4 - 3\sqrt{5}\right) \right) \left(y \left(1 - \sqrt{5}\right) \right)= \left(4 - 3\sqrt{5}\right) \left(y- \sqrt{5}y \right)=4y-4 \sqrt{5}y-3 \sqrt{5}y+15y = 19y - 7 \sqrt{5}y}\)

\(\displaystyle{ b^{2} = \left(y \left(1 - \sqrt{5}\right) \right) ^{2}=y ^{2} \left(1 - \sqrt{5} \right) ^{2}= y^{2} \left(1 - 2 \sqrt{5} + 5 \right)= y^{2}-2 \sqrt{5}y ^{2}+5y ^{2}= 6y ^{2}-2 \sqrt{5}y ^{2}}\)

W miejsce zmiennych podstawiam wyliczone wartości:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}=4- y^{2} \\
40 + 8 \sqrt{5} -10y ^{2}-2 \sqrt{5}y^{2} = 4 - 6 \sqrt{5} + \frac{45}{4} - 19y + 7 \sqrt{5}y + 6y ^{2}-2 \sqrt{5}y ^{2} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}=4- y^{2} \\
-16 y^{2}+19y-7 \sqrt{5}y+36+14 \sqrt{5}- \frac{45}{14} = 0 \end{cases}}\)

No i w zasadzie tutaj utknąłem. Po pierwsze, nie wiem czy wszystkie powyższe przekształcenia wykonałem poprawnie. Po drugie, wyliczony pierwszy punkt przecięcia nie zgadza mi się z rysunkiem geometrycznym.

"Pierwszy" punkt przecięcia na pewno wypada w punkcie \(\displaystyle{ x=0, y=2}\)

Mi natomiast już po obliczeniu wychodzi \(\displaystyle{ y= 2.1}\). Może to być błąd w wyniku przejścia na liczby wymierne i zaokrągleń bo nie potrafię inaczej rozwiązać tego równania kwadratowego.

Chodzi mi o to, że przekształcam je do takiej postaci:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}=4- y^{2} \\
-16 y^{2}+3,34y+64,09 = 0 \end{cases}}\)

Tutaj podałem z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku ale na kalkulatorze liczę deltę i pierwiastki z 20 miejscami po przecinku. Czy możliwe jest, że mimo tego aż tyle tracę na dokładności?

A więc w zasadzie mam dwie prośby:

1. Proszę o sprawdzenie moich obliczeń.
2. Jeśli są dobre, to proszę o pokazanie jak efektywniej (dokładniej) wyliczyć \(\displaystyle{ y _{1}}\) oraz \(\displaystyle{ y _{2}}\) z końcowego równania kwadratowego które uzyskałem.

Dzięki!-- 11 lut 2010, o 22:44 --Znalazłem jeden błąd, edytować nie mogę wiec tutaj będę kontynuował:


\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} + y^{2} = 2^{2} \\
\left(x - \sqrt{ \frac{5}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2} } \right) ^{2} +
\left(y - \left(-\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2} \right) \right)^{2} = \left(\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} \right) ^{2}\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} *\\
x^{2}-2x\sqrt{ \frac{5}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2}}+ \frac{5}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2}+
\left(y + \left(\frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{5} }{2} \right) \right)^{2}= 10 - 2 \sqrt{5} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} *\\
x^{2}-2x\sqrt{ \frac{5}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2}}+ \frac{5}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2}+
y^{2} + 2y \left( \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{5}}{2} \right)+ \frac{1}{4}- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5}{4} = 10 - 2 \sqrt{5} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}=4- y^{2} \\
x^{2}-2x\sqrt{ \frac{5}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2}}+ \frac{8}{2} + y^{2} + y - \sqrt{5}y = 10 - 2 \sqrt{5} \end{cases}}\)

Teraz za \(\displaystyle{ x^{2}}\) w drugim równaniu podstawiam \(\displaystyle{ 4 - y^{2}}\) z pierwszego równania.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}=4- y^{2} \\
4- y^{2}-2 \sqrt{4- y^{2}} \sqrt{ \frac{5}{2} + \frac{ \sqrt{8} }{2}} + y^{2} + y - \sqrt{5}y = 10 - 2 \sqrt{5} \end{cases}}\)

Teraz porządkuję składniki równania drugiego.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}=4- y^{2} \\
-2 \sqrt{4- y^{2}} \sqrt{ \frac{5}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2}} = 2 - 2\sqrt{5} - y + \sqrt{5}y\end{cases}}\)

Mam \(\displaystyle{ \sqrt{4- y^{2}}}\) a żeby równanie było w postaci kwadratowej to muszę się chyba pozbyć tego pierwiastka? Żeby to zrobić muszę podnieść obie strony równania do kwadratu, nie wiem czy dobrze to robie...

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}=4- y^{2} \\
- \sqrt{4- y^{2}} = \frac{2 -2\sqrt{5} - y + \sqrt{5}y}{2\sqrt{ \frac{5}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2}} }\end{cases}}\)

Nie mogę chyba podnieść każdego składnika osobno?:) Wiec przekształcam licznik z prawej strony równania tak aby można go było podnieść do kwadratu. No ale może źle to robie....?

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}=4- y^{2} \\
- \sqrt{4- y^{2}} = \frac{2 \left(1 - \sqrt{5}\right) + y \left(-1+ \sqrt{5}\right) }{2\sqrt{ \frac{5}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2}} }\end{cases}}\)

Dobra, chyba mam postać, którą wiem jak spotęgować. Potęguje to co myśle, że wiem jak spotęgować i dokonuje dwóch podstawień.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}=4- y^{2} \\
4- y^{2} = \frac{ \left(a + b \right)^{2} }{4 \left(\frac{5}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2} \right) }\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}=4- y^{2} \\
4- y^{2} = \frac{a^{2} +2ab + b^{2} }{10 + 2 \sqrt{5}}\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}=4- y^{2} \\
\left(4- y^{2}\right)\left({10 + 2 \sqrt{5}} \right) = a^{2} +2ab + b^{2} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}=4- y^{2} \\
40 + 8 \sqrt{5} -10y ^{2}-2 \sqrt{5}y^{2} = a^{2} +2ab + b^{2} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ a^{2} = \left(2 \left(1 - \sqrt{5}\right) \right) ^{2} = 2 ^{2} \left(1 - \sqrt{5}\right) ^{2} = 4 \left(1 -2 \sqrt{5} + 5 \right) = 4 - 8 \sqrt{5} + 20 = 24 - 8 \sqrt{5}}\)

\(\displaystyle{ 2ab = 2 \left(2 \left(1 - \sqrt{5}\right) \right) \left(y \left(-1 + \sqrt{5}\right) \right)=2 \left(2 - 2\sqrt{5}\right) \left(-y+ \sqrt{5}y \right)= \left(4 - 4 \sqrt{5} \right) \left(-y+ \sqrt{5}y \right)= -4y + 4 \sqrt{5}y + 4 \sqrt{5}y - 20y = -24y + 8\sqrt{5}y}\)

\(\displaystyle{ b^{2} = \left(y \left(-1 + \sqrt{5}\right) \right) ^{2}=y ^{2} \left(-1 + \sqrt{5} \right) ^{2}= y^{2} \left(1 - 2 \sqrt{5} + 5 \right)= y^{2}-2 \sqrt{5}y ^{2}+5y ^{2}= 6y ^{2}-2 \sqrt{5}y ^{2}}\)

W miejsce zmiennych podstawiam wyliczone wartości:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}=4- y^{2} \\
40 + 8 \sqrt{5} -10y ^{2}-2 \sqrt{5}y^{2} = 24 - 8 \sqrt{5}-24y + 8\sqrt{5}y+ 6y ^{2}-2 \sqrt{5}y ^{2}\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}=4- y^{2} \\
16 + 16 \sqrt{5} -16y ^{2} + 24y - 8\sqrt{5}y = 0\end{cases}}\)

Okej na razie jestem tutaj i jestem wykończony...

A więc w zasadzie mam dwie prośby:

1. Proszę o sprawdzenie moich obliczeń.
2. Jeśli są dobre, to proszę o pokazanie jak efektywniej (dokładniej) wyliczyć \(\displaystyle{ y _{1}}\) oraz \(\displaystyle{ y _{2}}\) z końcowego równania kwadratowego które uzyskałem.

[BettyBoo]

Przyznam od razu, że nie miałam siły dokładnie śledzić wszystkich obliczeń. Mam dwie uwagi, które Ci się nie spodobają

1) punkt \(\displaystyle{ (0,2)}\) w ogóle nie leży na drugim okręgu - podstaw to sobie do równania, to sam zobaczysz; zatem nie może to być punkt wspólny.

2) \(\displaystyle{ x^2=4-y^2\ \Rightarrow \ x=\pm\sqrt{4-y^2}}\) a więc należy rozpatrzyć dwa przypadki w zależności od znaku \(\displaystyle{ x}\).

Co do rozwiązania tego równania - ono po prostu wychodzi kosmiczne (rozwiązuje się standardowo, możesz sobie tylko podzielić przez 8 dla ułatwienia). Pamiętaj tutaj o tym, co pisałam w punkcie 2).



Skąd masz takie kosmiczne dane? Czy to jest część większego zadania?

Pozdrawiam.

[Unspoken]

Dziękuję Ci za odpowiedź

A Ty wiesz, że ja nie wpadłem na to aby podstawić ten punkt do drugiego równania? Hahah masakra!

Niemniej, gdy to zrobiłem, okazało się ze to działa!

Podstawiłem tutaj:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}=4- y^{2} \\
x^{2}-2x\sqrt{ \frac{5}{2} + \frac{ \sqrt{5} }{2}}+ \frac{8}{2} + y^{2} + y - \sqrt{5}y = 10 - 2 \sqrt{5} \end{cases}}\)



No ale może jestem tak zmęczony, że po prostu chce zobaczyć ten wynik...

To część większego zadania ale bynajmniej nie domowego Opisze je jeśli nie znajdę rozwiazania w tym równaniu...

Dziękuje za odpowiedź.

[BettyBoo]

Ten punkt podstawiłam do oryginalnego równania drugiego okręgu - i mi jakoś nie chce działać (równość nie wychodzi).... Ale może widzę to, co chcę widzieć

Pozdrawiam.