ekstrema i monotoniczność

erich · Post autor: **erich** » 11 lut 2010, o 20:10

Wzynacz ekstrema i monotoniczność: \(\displaystyle{ y=lnx+ \frac{1}{lnx}}\)
wyliczyłem pochodną i przyrównałem jądo zera: \(\displaystyle{ y'= \frac{1}{x}-lnx ^{-2} \cdot \frac{1}{x}}\) jak uzyskać miejsca zerowe? proszę o pomoc
Pozdrawiam!

JankoS · Post autor: **JankoS** » 11 lut 2010, o 20:22

Dla \(\displaystyle{ x \neq 0 \ y'= \frac{1}{x} \cdot \frac{ln^2x-1}{ln^2x}=0 \Leftrightarrow (lnx+1)(lnx-1)=0 \Leftrightarrow x \in \{ \frac{1}{e},e\}.}\)

erich · Post autor: **erich** » 11 lut 2010, o 20:45

mógłbyś to jakoś bardziej rozpisać bo nie bardzo kumam co z czego wynika szczególnie ta pochodna skąd się wzięła, będę wdzięczny

JankoS · Post autor: **JankoS** » 11 lut 2010, o 21:08

\(\displaystyle{ y'= \frac{1}{x}-lnx ^{-2} \cdot \frac{1}{x}= \frac{1}{x}-\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{ln^2x}= \frac{1}{x} \left(1- \frac{1}{ln^2x}\right)=\frac{1}{x} \cdot \frac{ln^2x-1}{ln^2x}=0 \Leftrightarrow (lnx+1)(lnx-1)=0 \Leftrightarrow \left(lnx=-1 \ lub \ lnx=1 \right) \Leftrightarrow \left( \right) x=e^{-1} \ lub \ x=e^1.}\)

erich · Post autor: **erich** » 12 lut 2010, o 09:03

no teraz jak licze to też mi tak wychodzi, ale w podręczniku jest jeszcze w przedziale uwzględniona 1 bo f<0 (0;1/e) oraz (1;e) a f>0 (0;1/e) oraz (e;nieskończoność)

i włśnie za nic w świecie nie mogę dojść jak to i m wyszło. Może to po prostu błąd w książce?

JankoS · Post autor: **JankoS** » 12 lut 2010, o 13:47

No trzeba jeszcze uwzględnić dziedzinę funkcji. Z własności logarytmu \(\displaystyle{ x>0}\). Z dzielenia \(\displaystyle{ lnx \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1}\).