Dyskusja o istocie matematyki

[Nixur]

Słowo wstępu
Pewna starsza pani (emerytowana nauczycielka polskiego) zapytała mnie czym jest pierwiastek z jabłka. Gdy teraz analizuję to mogę chyba nieformalnie powiedzieć że jest to każda liczba, albo raczej(dla bardziej zaawansowanych) każdy element należący do jakiegoś ciała w którym zachodzi działanie pierwiastek (dla ułatwienia przyjmiemy że jest to liczba urojona z ciała liczb zespolonych). Oczywiście formalnie nie istnieje pierwiastek z jabłka, ale istnieje funkcja (koniecznie bijekcja (funkcja odwracalna))np. "przyporządkowująca" jabłku jakąś liczbę x.
Tak więc jeśli za jabłko przyjmiemy liczbę ćwiartek jednego jabłka to pierwiastkiem z jabłka jest pół (jabłka). Jeśli za jabłko przyjmiemy 1/100 z ilości jabłek na jednym konkretnym drzewie (na którym wisi 100 jabłek) to uzyskamy 10 (jabłek). Jeśli za jabłko przyjmiemy ilość gruszek w jabłku to otrzymamy 0. Natomiast jeśli jabłku przyporządkujemy liczbę konkretnej wielkości kawałków antymaterii znajdującej się w jabłku to w wyniku dostaniemy pierwiastek z liczby ujemnej (liczbę zespoloną). Do czego zmierzam tymi przykładami?

Treść właściwa
Otóż matematyka nie jest rzeczywistością. Rzeczywistość składa się z materii na której nie da się wykonać żadnych działań oprócz stworzenia funkcji, która jest pomostem między rzeczywistością a matematyką. Czym jest zatem matematyka? Abstrakcyjnym wymysłem człowieka? Według mnie matematyka jest czymś co kontroluje rzeczywistość. Matematyka daje materii wymiar (właściwość) ilości, czy wręcz wymiar logiki, który jest jedyną w pełni poznawalną (tj. nieomylną) cechą rzeczywistości. Poza tym w praktyce matematyka jest człowiekowi niezbędna do funkcjonowania. Dzięki niej mamy coś takiego jak czas, przestrzeń, możliwość planowania (np. przyszłych wydatków). Matematyka nie jest w zasadzie nawet wymiarem (w sensie matematycznym) dla rzeczywistości, gdyż każdy aspekt rzeczywistości jest zależny od matematyki.
Sprawdźmy "implikację" w drugą stronę. Czym jest rzeczywistość dla matematyki? Tu sprawa jest o wiele prostsza. Rzeczywistość jest zerem. Proszę nie mylić ze zbiorem pustym. Rzeczywistość jest zbiorem materii i antymaterii, która istnieje i w zasadzie nic nie wnosi do matematyki (nie rozszerza jej). Sugeruje to poniekąd, że matematyka jest czymś wyższym co niejako zawiera rzeczywistość.

Na zakończenie
Nie przedstawiłem tu faktów, a raczej własne przemyślenia i hipotezy. Zapraszam więc czytelników do komentarzy, kontrargumentów, uzupełnień i w miarę możliwości dowodów (najlepiej matematycznych Jaka jest wiec wobec was istota matematyki?

[Crizz]

czy wręcz wymiar logiki, który jest jedyną w pełni poznawalną (tj. nieomylną) cechą rzeczywistości.

Optymista. Poza tym stwierdzeniem, moim zdaniem ogólnie masz rację. Wszystko to mozna streścić w jednym zdaniu: matematyka jest sztuką abstrakcyjnego myślenia (czyli tym, co prawdopodobnie odróżnia nas od zwierząt). Wystarczy zauwazyć, że myślenie o jabłku nie jest tym samym co samo jabłko, daje dużo więcej możliwości, ale nie ma mocy sprawczej, tylko analityczną.

[miki999]

No cóż nie wiem co podane przykłady mają do dalszej części tekstu, ale z tym jabłkiem to przypomniała mi się inna rzecz:
Spierwiastkujmy złotówkę-> otrzymujemy: \(\displaystyle{ \sqrt{1}=1}\)
Spierwiastkujmy 100 groszy (czyli to samo)- otrzymujemy: \(\displaystyle{ \sqrt{100}=10}\)
W czym tkwi zagadka? W jednostkach. Biorąc jabłko w rzeczywistości masz masz: \(\displaystyle{ \sqrt{4 \ \text{ćwiartki}}=2 \ \sqrt{\text{ćwiartki}}}\)- co w sumie do niczego logicznego Cię nie prowadzi, bo w tym kontekście to działanie jest pozbawione większego sensu.

Otóż matematyka nie jest rzeczywistością.

Oczywiście, że nie. Fizyka opisuje rzeczywistość- a czego używa- ano właśnie matematyki.

Według mnie matematyka jest czymś co kontroluje rzeczywistość.

Moim zdaniem nie. Bo mogę sobie wymyślić nowy dział, w zasadzie nieprzydatny i z niczym niezwiązany,
który sam zdefiniuje i opublikuję- jednak określenie, że będę wtedy kontrolował rzeczywistość jest raczej śmieszne.

Rzeczywistość jest zerem. Proszę nie mylić ze zbiorem pustym. Rzeczywistość jest zbiorem materii i antymaterii, która istnieje i w zasadzie nic nie wnosi do matematyki (nie rozszerza jej).

Oczywiście, że wnosi i to wiele, ponieważ w dużym stopniu wyznacza kierunek, w którym się rozwija (chociaż nie zawsze).

[Nixur]

Myślę że logika jest konsekwencją matematyki. Matematyka rozumiana jako dziedzina wiedzy zajmuje się zależnościami. W matematyce wszystko wynika z aksjomatów, które są niezależne od siebie (niekiedy podaje się jako aksjomaty niektóre wnioski z innych aksjomatów, ale zawsze można je pominąć nie zmieniając obrazu matematyki, a niezależność pozostałych została udowodniona) Matematyka składa się wiec z ciągu przyczynowo- skutkowego, który jest niesprzeczny z samym sobą. Zatem jeśli nie zrobimy jakiegoś rzeczowego bądź rachunkowego błędu to możemy być pewni, że dane twierdzenie jest prawdziwe, więc na bazie logiki nazywam matematykę nieomylną. Jedynym zastrzeżeniem może być niepewność co do prawdziwości aksjomatów (np. słynny bój o aksjomat wyboru), ale empirycznie zostały one wielokroć sprawdzone poprzez chociażby fizykę. Zatem twierdzę że nie kłamią.
Oczywiście logika jest zbiorem zależności między różnymi zjawiskami, więc jest pokrewna matematyce. Pewności nie mam jedynie czy matematyka zawiera się w logice, czy na odwrót, ale trudno wyobrazić sobie logikę bez matematyki.-- 10 lutego 2010, 14:51 --Przykłady miały za zadanie pokazać, że np. jedno jabłko, czy jeden metr to nie to samo liczba jeden, gdyż tak zakładając dochodzimy do sprzeczności (10jabłek= pół jabłka). Na co dzień jeden metr traktujemy jako całość na której dokonujemy obliczeń (np. obliczanie pola), a nie jako funkcja między odległością, a liczbą. W tym przypadku to by jeszcze uszło jako równanie z parametrem "metr". Poza tym istnieje pojęcie metr kwadratowy. Intuicyjnie dodając jedno jabłko do drugiego mówimy, że mamy dwa jabłka. Wielu osobom mogło by się wydawać na tej podstawie że matematyka jest efektem rzeczywistości jak prawa fizyczne, a nie bytem niezależnym, któremu przyporządkowana jest rzeczywistość dlatego zamieściłem odpowiedni kontrprzykład. Jeśli dla pana miki999 jest to oczywiste to się cieszę.

Zrobiłem błąd w poprzednim komentarzu. Zaraz go poprawię. Chodzi o to że aksjomaty nie są sprawdzone empirycznie przez fizykę (choć są zgodne z fizyką) i wcale być nie muszą. Aksjomaty są założeniem z którego wynika reszta i nie muszą odzwierciedlać rzeczywistości by być prawdziwymi w swoim punkcje odniesienia (wiem że to może być trudne do zrozumienia)
Tak jak pan (miki999) pisze rzeczywiście można stworzyć sobie nowy łańcuch przyczynowo-skutkowy zbudowany na bazie logiki i nie wywodzący się z matematyką czy z rzeczywistości. Tyle że wszystko jest podporządkowane logice, więc przyporządkowując odpowiednio rzeczywistość do elementów z owej "nowej matematyki" powinniśmy uzyskać zgodny obraz. Nie oznacza to że ktoś może kontrolować rzeczywistość, bo tworząc "nową matematykę" musiałby podporządkować się tej samej logice i najprawdopodobniej uzyskałby dokładnie te same prawa co w "normalnej" matematyce. Jeśli mam rację to oznaczało by to jednoznaczność matematyki.

Coraz bardziej wydaje mi się, że matematyka jest sama w sobie logiką, a raczej pewnym przedstawieniem logiki. Zamiast mówić, że matematyka kontroluje rzeczywistość powiem wiec że logika kontroluje rzeczywistość.

Matematyka się nie rozwija. Matematyka po prostu jest. Rozwija się nasze poznanie matematyki i nazwanie kolejnych zależności. Oczywiście, że gdy wojsko zajmuje się szyfrowaniem danych i przeznacza na to dodatkowe fundusze to gałąź matematyki zajmująca się tym zagadnieniem jest uważniej badana, lecz to nie znaczy ze nie istniała wcześniej.