Współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{11}}\) w rozwinięciu dwumianowym wyrażenia \(\displaystyle{ (x^{2}+x)^{n}}\) jest równy 56. Wyznacz n.
Mogę dodać jeszcze, że to z dwumianu newtona
Wyznacz n (dwumian newtona)
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4084
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Wyznacz n (dwumian newtona)
\(\displaystyle{ (x^{2}+x)^{n}=x^{n}(x+1)^{n}}\), zatem współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{11}}\) wynosi \(\displaystyle{ {n \choose k}}\), gdzie k jest takie, że \(\displaystyle{ n+k=11}\).
Mamy zatem \(\displaystyle{ {n \choose 11-n}=56}\), czyli \(\displaystyle{ n \ge 11-n}\). Oznacza to, że \(\displaystyle{ n \le 6}\). Z drugiej strony \(\displaystyle{ 11-n \ge 0}\), czyli \(\displaystyle{ n \ge 11}\). Wystarczy zatem sprawdzić \(\displaystyle{ n=6,7,8,9,10,11}\). Na pewno \(\displaystyle{ n \neq 6,n \neq 11, n \neq 10}\) (wtedy wychodzi odpowiednio 6,1,10). Sprawdź pozostałe trzy wartości.
Mamy zatem \(\displaystyle{ {n \choose 11-n}=56}\), czyli \(\displaystyle{ n \ge 11-n}\). Oznacza to, że \(\displaystyle{ n \le 6}\). Z drugiej strony \(\displaystyle{ 11-n \ge 0}\), czyli \(\displaystyle{ n \ge 11}\). Wystarczy zatem sprawdzić \(\displaystyle{ n=6,7,8,9,10,11}\). Na pewno \(\displaystyle{ n \neq 6,n \neq 11, n \neq 10}\) (wtedy wychodzi odpowiednio 6,1,10). Sprawdź pozostałe trzy wartości.