P(AuBuC)=?

[devilxx]

Zdarzenia A, B i C są parami niezależne, a wszystkie trzy nie mogą zachodzić jednocześnie.
Wyznacz największą wartość P(AuBuC), jeśli wiadomo, że każde za zdarzeń A, B i C zachodzi z tym samym prawdopodobieństwem p.

jak to zrobić?

[abrasax]

ogolnie
\(\displaystyle{ P(A_1 \cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1 \cap A_2)}\)
z tego otrzymujemy
\(\displaystyle{ P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)}\)

zdarzenia są parami niezależne, czyli
\(\displaystyle{ P(A \cap B) = P(A) P(B)}\), itd.

wszystkie 3 nie mogą zachodzić równocześnie:
\(\displaystyle{ P(A \cap B \cap C)=0}\)

zostaje
\(\displaystyle{ P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C) - P(A) P(B) - P(A) P(C) - P(B) P(C)=3p-3p^2}\)

teraz wystarczy wyznaczyć największą wartość funkcji
\(\displaystyle{ f(p)=3p-3p^2, \ 0 q p q 1}\)
1. wyznaczyć wartości funkcji na krańcach dziedziny
2. wyznaczyć maksimum

[devilxx]

Dzięki wielkie

[ Dodano: Wto Kwi 18, 2006 6:38 pm ]
Mam jedno pytanie tylko. Nie rozumiem tego, dlaczego w tym drugim równaniu od góry dodajesz P(AuBuC). Czemu to sie dodaje a nie odejmuje?

[ Dodano: Wto Kwi 18, 2006 6:40 pm ]
yyyyy, sorry, oczywiscie chodzi mi o to, dlaczego dodaje się P(ArazyBrazyC), a nie odejmuje?

[abrasax]

stosujesz ten sam kilka dwa razy
\(\displaystyle{ P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B \cup C)-P(A \cap (B \cup C))=}\)
\(\displaystyle{ =P(A)+ P(B)+P(C) - P(B \cap C) - P((A\cap B) \cup (A \cap C)) =}\)
\(\displaystyle{ =P(A)+ P(B)+P(C) - P(B \cap C) - P(A \cap B)-P(A\cap C)+P(A\cap B \cap C)}\)