Wyznacz wymiar jądra i obrazu odwz. liniowego

[Ksl]

Wyznaczyć wymiar jądra i obrazu odwz. liniowego
\(\displaystyle{ R^4 w R^3}\)
\(\displaystyle{ f(x,y,z,t)=(x+2z+t, -2x+y-3z-5t, x-y+z+4t).}\)
przyrownalem do 0 i wyszło
\(\displaystyle{ x+2z+t=0}\)
\(\displaystyle{ y+z-3t=0}\)

co dalej z tym zrobić?

[Nakahed90]

Napewno taki układ wyszedł po przyrównaniu do zera?

[Ksl]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&2&1\\-2&1&-3&-5\\1&-1&1&4\end{bmatrix}}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&2&1\\0&1&1&-3\\0&-1&-1&3\end{bmatrix}}\)

no i jak widać ostatni wiersz się zeruje?
chyba ze gdzies sie pomylilem?

[Nakahed90]

W takim razie dwie zmienne zamień na parametry i rozwiąż ten układ równań.

[Ksl]

t=-x-2z
y=-3x-7z

hmm?

[Nakahed90]

Tak.

[Ksl]

no i co z tym dalej zrobic?
mogłbyś powiedzieć co do końca z tym robić?

[Nakahed90]

Z tego masz, że \(\displaystyle{ Ker \varphi=\{[x,-x-2z,-3x-7z,z],x,z \in R\}}\)