Obliczyć całki

[qtangens]

Prosze o pomoc w obliczeniu całek
1. \(\displaystyle{ \int \sqrt[3]{x}*lnx dx}\)
2. \(\displaystyle{ \int \frac{ln x}{x ^{3} } dx}\)
3. \(\displaystyle{ \int (x+1) ^{2}* e ^{-x} dx}\)
4. \(\displaystyle{ \int \frac{e ^{2x} }{2+e ^{x} }dx}\)
5. \(\displaystyle{ \int \frac{sin 2x}{4+ cos x} dx}\) cos x = t
6. \(\displaystyle{ \int sin 2x * e ^{2sin x} dx}\) 2sin x=t

w pierwszych 3 przykładach należny zastosować całkowanie przez cześci w przykładach 4-6 przez podstawianie. Nie jestem pewna ale w przykładzie 6 wychodzi mi \(\displaystyle{ 2sin ^{2}x*e ^{2sin x}}\)
Prosze o wytłumaczenie sposobu obliczenia tych całek.

[miodzio1988]

82336.htm

tu masz podobne przyklady. Gotowca nie bedzie. Znajdz wzor i skorzystaj z niego

[qtangens]

wiem o co CI chodzi jednak nadal nie potrafię tego rozwiązać . Wzory znam ale i tak nie umiem ich odpowiednio wykorzystać

[miodzio1988]

To zaczin od pierwszego. Policz to przez czesci. Rozniczkujesz logarytm

[qtangens]

czyli \(\displaystyle{ \int \sqrt[3]{x}*lnx dx}\) czyli \(\displaystyle{ [f(x)= \frac{3 \sqrt[3]{x ^{4} } }{4} ; f'(x)= \sqrt[3]{x} ; g(x)= lnx g'(x)= \frac{1}{x} ] f(x)*g(x)- \int f(x)*g'(x)}\) i wychodzi z tego \(\displaystyle{ lnx( \frac{3* \sqrt[3]{x ^{4} } }{4} - \frac{3* \sqrt[4]{x ^{7} } }{7} )}\) o ile się nie pomyliłam

[mikolajr]

coś pomylilaś powinno wyglądać tak:

\(\displaystyle{ \left \int \sqrt[3]{x} \cdot lnx \ dx \begin{vmatrix} \ u=lnx&\nu ^{\prime} =\sqrt[3]{x}\\u^{\prime}=\frac{1}{x}&\nu=\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}\end{vmatrix} = \left \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} \cdot lnx \ - \right \int \frac{\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}}{x} \ dx = \left \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} \cdot lnx - \frac{9}{16} x^{\frac{4}{3}}=}\)

\(\displaystyle{ = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} \left (lnx-\frac{3}{4} \right) + C}\)

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \int{\ln{x} \cdot x^{-3} \mbox{d}x }= \frac{x^{-2}}{-2}\ln{x}+ \frac{1}{2} \int{x^{-3} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ =- \frac{1}{2} \frac{\ln{x}}{x^2}- \frac{1}{4}x^{-2}+C}\)

\(\displaystyle{ =- \frac{1}{4x^2} \left(2\ln{x}+1 \right)+C}\)

\(\displaystyle{ \int{ \left( \right) ^2e^{-x} \mbox{d}x }=- \left(x+1 \right)^2e^{-x}+2\int{ \left(x+1 \right) e^{-x} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ \int{ \left( \right) ^2e^{-x} \mbox{d}x }=- \left(x+1 \right)^2e^{-x}+2 \left( -\left(x+1 \right)e^{-x}-\int{e^{-x} \mbox{d}x } \right)}\)

\(\displaystyle{ \int{ \left( \right) ^2e^{-x} \mbox{d}x }=- \left(x+1 \right)^2e^{-x}+2 \left( -\left(x+1 \right)e^{-x}+e^{-x} \right)}\)

\(\displaystyle{ =-e^{-x} \left(1+ \left(x+2 \right) ^2 \right)+C}\)

\(\displaystyle{ \int{ \frac{e^{2x}}{2+e^{x}} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ e^{x}=t}\)

\(\displaystyle{ t \mbox{d}x = \mbox{d}t}\)

\(\displaystyle{ \mbox{d}x = \frac{ \mbox{d}t}{t}}\)

\(\displaystyle{ =\int{ \frac{t^2}{t \left(2+t \right) } \mbox{d}t}}\)

\(\displaystyle{ =\int{ \frac{t}{\left(2+t \right) } \mbox{d}t}=\int{ \mbox{d}t}-2\int{ \frac{1}{2+t} \mbox{d}t}}\)

\(\displaystyle{ =t-2\ln{ \left|2+t \right| }+C}\)

\(\displaystyle{ =e^{x}-2\ln{ \left|2+e^{x} \right| }+C}\)

\(\displaystyle{ \int{ \frac{2\sin{x}\cos{x}}{4+\cos{x}} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ t=\cos{x}}\)

\(\displaystyle{ \mbox{d}t=-\sin{x} \mbox{d}x}\)

\(\displaystyle{ =-2\int{ \frac{t}{4+t} \mbox{d}t }=-2 \left(\int{ \mbox{d}t}+8\int{ \frac{1}{4+t} \mbox{d}x } \right)}\)

\(\displaystyle{ =-2t+ 8\ln{ \left|4+t \right| }+C}\)

\(\displaystyle{ =-2\cos{x}+ 8\ln{ \left|4+\cos{x} \right| }+C}\)

\(\displaystyle{ =\int{2\sin{x}\cos{x}e^{2\sin{x}} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ 2\sin{x}=t}\)

\(\displaystyle{ 2\cos{x} \mbox{d}x = \mbox{d}t}\)

\(\displaystyle{ \cos{x} \mbox{d}x = \frac{1}{2} \mbox{d}t}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{2}\int{te^{t} \mbox{d}t}}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{2} \left(te^{t}-\int{e^{t}} \right)}\)

\(\displaystyle{ = \sin{x}e^{2\sin{x}}- \frac{1}{2}e^{2\sin{x}}+C}\)

[qtangens]

\(\displaystyle{ =\int{ \frac{t}{\left(2+t \right) } \mbox{d}t}=\int{ \mbox{d}t}-2\int{ \frac{1}{2+t} \mbox{d}t}}\) niezbyt rozumiem to sformułowanie u mnie wychodzi zupełnie inaczej inaczej-- 7 lut 2010, o 17:57 --nie działa mi edycja postu i podgląd, wiec przepraszam za błędy w pisaniu...
2. tez mi tak wyszło
3. \(\displaystyle{ \int{(x+1) ^{2} \cdot e ^{-x} dx }= -e ^{-x} \cdot (x+1) ^{2} - \int{-e ^{-x} \cdot (2x+2)}=-e ^{-x} \cdot ((x+1) ^{2}+(x ^{2}+2x))+C}\)
4. \(\displaystyle{ \int{ \frac{e ^{2x} }{2+e ^{x} }dx}= \int{ \frac{t}{2+t}} dt = \frac{t ^{2} }{2} \cdot ln |t+2| = \frac{e ^{2x} \cdot ln|e ^{x} +2| }{2} +C}\)
5. \(\displaystyle{ \int{ \frac{sin2x}{4+cosx}dx} = podstawienie takie samo = \int{ \frac{-2t}{4+t} dt}= -2\int{t \cdot \frac{1}{4+t}dt}= t ^{2} \cdot ln|4+t| = -cos ^{2}x \cdot ln| 4+cosx| + C}\)
6 \(\displaystyle{ \int{sin2x \cdot e ^{2sinx}dx}= \int{te ^{t} dt}= \frac{t ^{2} }{2} \cdot e ^{t}= 2 \cdot sin ^{2}x \cdot e ^{2sinx} +C}\)
przepraszam za pomyłki i proszę o sprawdzenie poprawności moich obliczeń

[Mariusz M]

qtangens,

W 6)


Licząc przez części całkujesz \(\displaystyle{ e^{t}}\)
a różniczkujesz \(\displaystyle{ t}\)

W 4) i 5)

Po podstawieniu nie liczysz przez części tylko dodajesz takie zero aby w jednej z całek pojawiła
się stała

\(\displaystyle{ \frac{t}{2+t}= \frac{2+t}{2+t}- \frac{2}{2+t}}\)

\(\displaystyle{ \frac{-2t}{4+t}= \frac{-8-2t}{4+t}+ \frac{8}{4+t}}\)