rówanie wykladnicze z parametrem

lukiii1987 · Post autor: **lukiii1987** » 17 kwie 2006, o 11:13

Wyznacz wszystkie wartosci parametru m, dla którycxh rownanie \(\displaystyle{ (m-3)9^{x}-(2m+6)3^{x}+m+2}\)=0 ma dwa różne rozwiazania?

sir_matin · Post autor: **sir_matin** » 17 kwie 2006, o 11:57

Przyjmujemy \(\displaystyle{ 3^{x}=t>0}\).
Funkcja wykladnicza jest roznowartosciowa wiec jedynym rozwiazaniem \(\displaystyle{ 3^{x}=t}\) jest \(\displaystyle{ x=log_{3}t}\)
wiec aby byly dwa rozne rozwiazania, rownanie \(\displaystyle{ (m-3)t^{2}-(2m+6)t+m+2=0}\) musi spelniac warunki:

\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}m-3\neq0\\\Delta>0\\t_{1}+t_{2}>0\\t_{1}t_{2}>0\end{array}}\)

a wiec

\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}m\neq3\\[-(2m+6)]^{2}-4(m-3)(m+2)>0\\\frac{2m+6}{m-3}>0\\\frac{m+2}{m-3}>0\end{array}}\)

dalej sobie poradzisz...

robert179 · Post autor: **robert179** » 17 kwie 2006, o 11:58

\(\displaystyle{ 3^{x}=t}\)
\(\displaystyle{ (m-3)*t^{2}-(2m+6)*t+m+2=o}\)

Potem rozwiązujesz \(\displaystyle{ \Del>0}\). Po rozwiązaniu wracasz do podstawienia.

PS: Zapomniałem jeszcze o\(\displaystyle{ m-3}\)różne od 0. Ale kolega wyżej opisał Ci to już dokładniej .

lukii1987 · Post autor: **lukii1987** » 17 kwie 2006, o 12:26

a dlaczego takie założenia?? bo niebardzo rozumie

LecHu :) · Post autor: **LecHu :)** » 17 kwie 2006, o 12:33

m-3 rozne od zera, zeby to bylo rownanie kwadratowe.
delta wieksza od zera, zeby byly dwa rozwiazania
t1*t2 >0 i t1+t2>0 zeby bylo rozwiazanie w liczbach rzeczywistych.

lukii1987 · Post autor: **lukii1987** » 17 kwie 2006, o 12:38

spierwiastkowac??

LecHu :) · Post autor: **LecHu :)** » 17 kwie 2006, o 12:44

Sorki, masz x=log_{3}t, i dlatego t musi byc dodatnie.

lukiii1987 · Post autor: **lukiii1987** » 17 kwie 2006, o 12:52

a czy jest jakies ogolne postepowanie w przypadku równan wykladniczych z pomocnicza??

jak zapisac dobrze warunki ( no bo w wykladniczej jesli podstawiamy to t>o zawsze ) czy jest jakis ogólny przepis , bo nie bardzo wiem dlaczego nadal tak

LecHu :) · Post autor: **LecHu :)** » 17 kwie 2006, o 12:58

Wiec tak. Jesli podstawiasz za np \(\displaystyle{ 3^{x}=t}\) to widac ze jedynym sposobem zeby otrzymac potem x jesli zlogarytmowac to obustronnie i masz:\(\displaystyle{ x=\frac{logt}{log3}=log_{3}t}\)
Zeby to bylo rozwiazywalne w zbiorze liczb rzeczywistych, to t musi byc wieksze od zera.
Zeby t bylo wieksze od zera to rownanie postaci \(\displaystyle{ at^{2}+bt+c=0}\)(1) musi miec delte wieksza lub rowna zero, w zaleznosci od ilosci wymaganych przez nas wynikow. Teraz, zeby to wszystko razem zlaczyc, oba pierwiastki wielomianu (1) musza byc wieksze od zera, zeby mogl byc spelniony pierwszy warunek.

lukiii1987 · Post autor: **lukiii1987** » 17 kwie 2006, o 13:01

a jakie założenia gdy rownanie to ma miec tylko jedno równanie?

czyli postepujemy tak jak w równaniu kwadratowym tylko zeby to rownaie wykładnicze w postaci kwadratowej mialo rozwiazania to pierwiastki musza byc wieksze od 0??

LecHu :) · Post autor: **LecHu :)** » 17 kwie 2006, o 13:11

Zeby to rownanie wykladnicze mialo jedno rozwiazanie to:
Delta rowna zero i rozwiazanie tego rownania wykladniczego musi byc dodatnie.
Albo delta wieksza od zera, ale jeden z pierwiastkow wielomianu z t w roli glownej ujemny a drugi dodatni.